微分積分例

$f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$

ステップ 1

$f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $\frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1} = x$ として書き換えます。

$\frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1} = x$

ステップ 3.2

両辺に $e^{y} + 1$ を掛けます。

$\frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1} (e^{y} + 1) = x (e^{y} + 1)$

ステップ 3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

$e^{y} + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1} (e^{y} + 1) = x (e^{y} + 1)$

ステップ 3.3.1.1.2

式を書き換えます。

$e^{y} - 1 = x (e^{y} + 1)$

ステップ 3.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$x (e^{y} + 1)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$e^{y} - 1 = x e^{y} + x \cdot 1$

ステップ 3.3.2.1.2

$x$ に $1$ をかけます。

$e^{y} - 1 = x e^{y} + x$

ステップ 3.4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

方程式の両辺から $x e^{y}$ を引きます。

$e^{y} - 1 - x e^{y} = x$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$e^{y} - x e^{y} = x + 1$

ステップ 3.4.3

$e^{y}$ を $e^{y} - x e^{y}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

$1$ を掛けます。

$e^{y} \cdot 1 - x e^{y} = x + 1$

ステップ 3.4.3.2

$e^{y}$ を $- x e^{y}$ で因数分解します。

$e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- x) = x + 1$

ステップ 3.4.3.3

$e^{y}$ を $e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- x)$ で因数分解します。

$e^{y} (1 - x) = x + 1$

ステップ 3.4.4

$e^{y} (1 - x) = x + 1$ の各項を $1 - x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.1

$e^{y} (1 - x) = x + 1$ の各項を $1 - x$ で割ります。

$\frac{e^{y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

ステップ 3.4.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.2.1

$1 - x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

ステップ 3.4.4.2.1.2

$e^{y}$ を $1$ で割ります。

$e^{y} = \frac{x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

ステップ 3.4.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.3.1

公分母の分子をまとめます。

$e^{y} = \frac{x + 1}{1 - x}$

ステップ 3.4.5

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

ステップ 3.4.6

左辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.1

$y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{y})$ を展開します。

$y \ln (e) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

ステップ 3.4.6.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

ステップ 3.4.6.3

$y$ に $1$ をかけます。

$y = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$ が $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{(\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) + 1}{1 - (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

ステップ 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $e^{x} + 1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$\frac{\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} + 1}{1 - \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}}$ に $\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + 1}$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} + 1}{1 - \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}})$

ステップ 5.2.3.2

まとめる。

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{(e^{x} + 1) (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} + 1)}{(e^{x} + 1) (1 - \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

ステップ 5.2.4

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{(e^{x} + 1) (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (- \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

ステップ 5.2.5

約分で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1

$e^{x} + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{(e^{x} + 1) (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (- \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

ステップ 5.2.5.1.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (- \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

ステップ 5.2.5.2

$e^{x} + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.2.1

$- \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (\frac{- (e^{x} - 1)}{e^{x} + 1})})$

ステップ 5.2.5.2.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (\frac{- (e^{x} - 1)}{e^{x} + 1})})$

ステップ 5.2.5.2.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

ステップ 5.2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.1

$e^{x} + 1$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + e^{x} + 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

ステップ 5.2.6.2

$e^{x}$ と $e^{x}$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x} - 1 + 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

ステップ 5.2.6.3

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x} + 0}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

ステップ 5.2.6.4

$2 e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

ステップ 5.2.7

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.7.1

$e^{x} + 1$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1 - (e^{x} - 1)})$

ステップ 5.2.7.2

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1 - e^{x} + 1})$

ステップ 5.2.7.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1 - e^{x} + 1})$

ステップ 5.2.7.4

$e^{x}$ から $e^{x}$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{0 + 1 + 1})$

ステップ 5.2.7.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{1 + 1})$

ステップ 5.2.7.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2})$

ステップ 5.2.8

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.8.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2})$

ステップ 5.2.8.2

$e^{x}$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (e^{x})$

ステップ 5.2.9

対数の法則を利用して指数の外に $x$ を移動します。

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = x \ln (e)$

ステップ 5.2.10

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = x \cdot 1$

ステップ 5.2.11

$x$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x}))$ の値を求めます。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} - 1}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

ステップ 5.3.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1}{1 - x} - 1}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

ステップ 5.3.3.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 - x}{1 - x}$ を掛けます。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1}{1 - x} - 1 \cdot \frac{1 - x}{1 - x}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

ステップ 5.3.3.3

$- 1$ と $\frac{1 - x}{1 - x}$ をまとめます。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1}{1 - x} + \frac{- (1 - x)}{1 - x}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

ステップ 5.3.3.4

公分母の分子をまとめます。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - (1 - x)}{1 - x}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

ステップ 5.3.3.5

項を並べ替えます。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - (1 - x)}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

ステップ 5.3.3.6

因数分解した形で $\frac{x + 1 - (1 - x)}{- x + 1}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.6.1

分配則を当てはめます。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - 1 \cdot 1 + x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

ステップ 5.3.3.6.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - 1 + x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

ステップ 5.3.3.6.3

$- - x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.6.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - 1 + 1 x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

ステップ 5.3.3.6.3.2

$x$ に $1$ をかけます。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - 1 + x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

ステップ 5.3.3.6.4

$x$ と $x$ をたし算します。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x + 1 - 1}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

ステップ 5.3.3.6.5

$1$ から $1$ を引きます。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x + 0}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

ステップ 5.3.3.6.6

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

ステップ 5.3.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{x + 1}{1 - x} + 1}$

ステップ 5.3.4.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{x + 1}{1 - x} + \frac{1 - x}{1 - x}}$

ステップ 5.3.4.3

公分母の分子をまとめます。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{x + 1 + 1 - x}{1 - x}}$

ステップ 5.3.4.4

項を並べ替えます。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{x - x + 1 + 1}{- x + 1}}$

ステップ 5.3.4.5

因数分解した形で $\frac{x - x + 1 + 1}{- x + 1}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.5.1

$x$ から $x$ を引きます。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{0 + 1 + 1}{- x + 1}}$

ステップ 5.3.4.5.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{1 + 1}{- x + 1}}$

ステップ 5.3.4.5.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{2}{- x + 1}}$

ステップ 5.3.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{2 x}{- x + 1} \cdot \frac{- x + 1}{2}$

ステップ 5.3.6

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{2 (x)}{- x + 1} \cdot \frac{- x + 1}{2}$

ステップ 5.3.6.2

共通因数を約分します。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{2 x}{- x + 1} \cdot \frac{- x + 1}{2}$

ステップ 5.3.6.3

式を書き換えます。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{x}{- x + 1} \cdot (- x + 1)$

ステップ 5.3.7

$\frac{x}{- x + 1}$ に $- x + 1$ をかけます。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{x (- x + 1)}{- x + 1}$

ステップ 5.3.8

$- x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.8.1

共通因数を約分します。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{x (- x + 1)}{- x + 1}$

ステップ 5.3.8.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$ は $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

微分積分 例

微分積分例