微分積分例

$f (x) = \frac{1}{4} x - \frac{1}{2}$

ステップ 1

$f (x) = \frac{1}{4} x - \frac{1}{2}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{1}{4} x - \frac{1}{2}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{1}{4} y - \frac{1}{2}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $\frac{1}{4} y - \frac{1}{2} = x$ として書き換えます。

$\frac{1}{4} y - \frac{1}{2} = x$

ステップ 3.2

$\frac{1}{4}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{y}{4} - \frac{1}{2} = x$

ステップ 3.3

方程式の両辺に $\frac{1}{2}$ を足します。

$\frac{y}{4} = x + \frac{1}{2}$

ステップ 3.4

方程式の両辺に $4$ を掛けます。

$4 \frac{y}{4} = 4 (x + \frac{1}{2})$

ステップ 3.5

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.5.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.1.1

共通因数を約分します。

$4 \frac{y}{4} = 4 (x + \frac{1}{2})$

ステップ 3.5.1.1.2

式を書き換えます。

$y = 4 (x + \frac{1}{2})$

ステップ 3.5.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

$4 (x + \frac{1}{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y = 4 x + 4 (\frac{1}{2})$

ステップ 3.5.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$y = 4 x + 2 (2) \frac{1}{2}$

ステップ 3.5.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$y = 4 x + 2 \cdot 2 \frac{1}{2}$

ステップ 3.5.2.1.2.3

式を書き換えます。

$y = 4 x + 2$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 4 x + 2$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = 4 x + 2$ が $f (x) = \frac{1}{4} x - \frac{1}{2}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) + 2$

ステップ 5.2.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$\frac{1}{4}$ と $x$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = 4 (\frac{x}{4} - \frac{1}{2}) + 2$

ステップ 5.2.3.2

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = 4 (\frac{x}{4}) + 4 (- \frac{1}{2}) + 2$

ステップ 5.2.3.3

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.3.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = 4 (\frac{x}{4}) + 4 (- \frac{1}{2}) + 2$

ステップ 5.2.3.3.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = x + 4 (- \frac{1}{2}) + 2$

ステップ 5.2.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.4.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = x + 4 (\frac{- 1}{2}) + 2$

ステップ 5.2.3.4.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = x + 2 (2) (\frac{- 1}{2}) + 2$

ステップ 5.2.3.4.3

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = x + 2 \cdot (2 (\frac{- 1}{2})) + 2$

ステップ 5.2.3.4.4

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = x + 2 \cdot - 1 + 2$

ステップ 5.2.3.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = x - 2 + 2$

ステップ 5.2.4

$x - 2 + 2$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.4.1

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = x + 0$

ステップ 5.2.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (4 x + 2)$ の値を求めます。

$f (4 x + 2) = \frac{1}{4} \cdot (4 x + 2) - \frac{1}{2}$

ステップ 5.3.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

分配則を当てはめます。

$f (4 x + 2) = \frac{1}{4} \cdot (4 x) + \frac{1}{4} \cdot 2 - \frac{1}{2}$

ステップ 5.3.3.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1

$4$ を $4 x$ で因数分解します。

$f (4 x + 2) = \frac{1}{4} \cdot (4 (x)) + \frac{1}{4} \cdot 2 - \frac{1}{2}$

ステップ 5.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$f (4 x + 2) = \frac{1}{4} \cdot (4 x) + \frac{1}{4} \cdot 2 - \frac{1}{2}$

ステップ 5.3.3.2.3

式を書き換えます。

$f (4 x + 2) = x + \frac{1}{4} \cdot 2 - \frac{1}{2}$

ステップ 5.3.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.3.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (4 x + 2) = x + \frac{1}{2 (2)} \cdot 2 - \frac{1}{2}$

ステップ 5.3.3.3.2

共通因数を約分します。

$f (4 x + 2) = x + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2 - \frac{1}{2}$

ステップ 5.3.3.3.3

式を書き換えます。

$f (4 x + 2) = x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 5.3.4

$x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.4.1

公分母の分子をまとめます。

$f (4 x + 2) = x + \frac{1 - 1}{2}$

ステップ 5.3.4.2

$1$ から $1$ を引きます。

$f (4 x + 2) = x + \frac{0}{2}$

ステップ 5.3.4.3

$0$ を $2$ で割ります。

$f (4 x + 2) = x + 0$

ステップ 5.3.4.4

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (4 x + 2) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = 4 x + 2$ は $f (x) = \frac{1}{4} x - \frac{1}{2}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = 4 x + 2$

微分積分 例

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