微分積分例

$f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$

ステップ 1

$f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} = x$ として書き換えます。

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} = x$

ステップ 3.2

両辺に $1 + 2 e^{y}$ を掛けます。

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} (1 + 2 e^{y}) = x (1 + 2 e^{y})$

ステップ 3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

$1 + 2 e^{y}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} (1 + 2 e^{y}) = x (1 + 2 e^{y})$

ステップ 3.3.1.1.2

式を書き換えます。

$e^{y} = x (1 + 2 e^{y})$

ステップ 3.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$x (1 + 2 e^{y})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$e^{y} = x \cdot 1 + x (2 e^{y})$

ステップ 3.3.2.1.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.2.1

$x$ に $1$ をかけます。

$e^{y} = x + x (2 e^{y})$

ステップ 3.3.2.1.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{y} = x + 2 x e^{y}$

ステップ 3.4

$y$ について解きます。

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ステップ 3.4.1

方程式の両辺から $2 x e^{y}$ を引きます。

$e^{y} - 2 x e^{y} = x$

ステップ 3.4.2

$e^{y}$ を $e^{y} - 2 x e^{y}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$1$ を掛けます。

$e^{y} \cdot 1 - 2 x e^{y} = x$

ステップ 3.4.2.2

$e^{y}$ を $- 2 x e^{y}$ で因数分解します。

$e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- 2 x) = x$

ステップ 3.4.2.3

$e^{y}$ を $e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- 2 x)$ で因数分解します。

$e^{y} (1 - 2 x) = x$

ステップ 3.4.3

$e^{y} (1 - 2 x) = x$ の各項を $1 - 2 x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

$e^{y} (1 - 2 x) = x$ の各項を $1 - 2 x$ で割ります。

$\frac{e^{y} (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

ステップ 3.4.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.2.1

$1 - 2 x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{y} (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

ステップ 3.4.3.2.1.2

$e^{y}$ を $1$ で割ります。

$e^{y} = \frac{x}{1 - 2 x}$

ステップ 3.4.4

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

ステップ 3.4.5

左辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.1

$y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{y})$ を展開します。

$y \ln (e) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

ステップ 3.4.5.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

ステップ 3.4.5.3

$y$ に $1$ をかけます。

$y = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$ が $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}}{1 - 2 \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

ステップ 5.2.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{1 - 2 \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

ステップ 5.2.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$- 2$ と $\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{- 2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

ステップ 5.2.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{1 - \frac{(2) e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

ステップ 5.2.4.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{1 + 2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}} - \frac{2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

ステップ 5.2.4.4

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{1 + 2 e^{x} - 2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

ステップ 5.2.4.5

項を並べ替えます。

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{2 e^{x} + 1 - 2 e^{x}}{2 e^{x} + 1}})$

ステップ 5.2.4.6

因数分解した形で $\frac{2 e^{x} + 1 - 2 e^{x}}{2 e^{x} + 1}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.6.1

$2 e^{x}$ から $2 e^{x}$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{2 e^{x} + 1}})$

ステップ 5.2.4.6.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2 e^{x} + 1}})$

ステップ 5.2.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot (1 (2 e^{x} + 1)))$

ステップ 5.2.6

$2 e^{x} + 1$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot (2 e^{x} + 1))$

ステップ 5.2.7

$\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ に $2 e^{x} + 1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} (2 e^{x} + 1)}{1 + 2 e^{x}})$

ステップ 5.2.8

$2 e^{x} + 1$ と $1 + 2 e^{x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.8.1

項を並べ替えます。

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} (2 e^{x} + 1)}{2 e^{x} + 1})$

ステップ 5.2.8.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} (2 e^{x} + 1)}{2 e^{x} + 1})$

ステップ 5.2.8.3

$e^{x}$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (e^{x})$

ステップ 5.2.9

対数の法則を利用して指数の外に $x$ を移動します。

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = x \ln (e)$

ステップ 5.2.10

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = x \cdot 1$

ステップ 5.2.11

$x$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x}))$ の値を求めます。

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{e^{\ln (\frac{x}{1 - 2 x})}}{1 + 2 e^{\ln (\frac{x}{1 - 2 x})}}$

ステップ 5.3.3

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{1 + 2 e^{\ln (\frac{x}{1 - 2 x})}}$

ステップ 5.3.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{1 + 2 (\frac{x}{1 - 2 x})}$

ステップ 5.3.4.2

$2$ と $\frac{x}{1 - 2 x}$ をまとめます。

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{1 + \frac{2 x}{1 - 2 x}}$

ステップ 5.3.4.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1 - 2 x}{1 - 2 x} + \frac{2 x}{1 - 2 x}}$

ステップ 5.3.4.4

公分母の分子をまとめます。

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1 - 2 x + 2 x}{1 - 2 x}}$

ステップ 5.3.4.5

因数分解した形で $\frac{1 - 2 x + 2 x}{1 - 2 x}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.5.1

$- 2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1 + 0}{1 - 2 x}}$

ステップ 5.3.4.5.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1}{1 - 2 x}}$

ステップ 5.3.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot (1 - 2 x)$

ステップ 5.3.6

$1 - 2 x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.1

共通因数を約分します。

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot (1 - 2 x)$

ステップ 5.3.6.2

式を書き換えます。

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$ は $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

微分積分 例

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