微分積分例

$f (x) = \arctan (x)$

ステップ 1

$f (x) = \arctan (x)$ を方程式で書きます。

$y = \arctan (x)$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \arctan (y)$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $\arctan (y) = x$ として書き換えます。

$\arctan (y) = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺の逆正接の逆をとり、逆正接の中から $y$ を取り出します。

$y = \tan (x)$

ステップ 3.3

括弧を削除します。

$y = \tan (x)$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \tan (x)$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \tan (x)$ が $f (x) = \arctan (x)$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\arctan (x))$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\arctan (x)) = \tan (\arctan (x))$

ステップ 5.2.3

関数の正切と逆正切は逆です。

$f^{- 1} (\arctan (x)) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\tan (x))$ の値を求めます。

$f (\tan (x)) = \arctan (\tan (x))$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \tan (x)$ は $f (x) = \arctan (x)$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \tan (x)$

微分積分 例

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