微分積分例

$f (x) = e^{- 8 x}$

ステップ 1

$f (x) = e^{- 8 x}$ を方程式で書きます。

$y = e^{- 8 x}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = e^{- 8 y}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $e^{- 8 y} = x$ として書き換えます。

$e^{- 8 y} = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{- 8 y}) = \ln (x)$

ステップ 3.3

左辺を展開します。

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ステップ 3.3.1

$- 8 y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{- 8 y})$ を展開します。

$- 8 y \ln (e) = \ln (x)$

ステップ 3.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$- 8 y \cdot 1 = \ln (x)$

ステップ 3.3.3

$- 8$ に $1$ をかけます。

$- 8 y = \ln (x)$

ステップ 3.4

$- 8 y = \ln (x)$ の各項を $- 8$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.4.1

$- 8 y = \ln (x)$ の各項を $- 8$ で割ります。

$\frac{- 8 y}{- 8} = \frac{\ln (x)}{- 8}$

ステップ 3.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$- 8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 8 y}{- 8} = \frac{\ln (x)}{- 8}$

ステップ 3.4.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (x)}{- 8}$

ステップ 3.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{\ln (x)}{8}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{8}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{8}$ が $f (x) = e^{- 8 x}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (e^{- 8 x})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{\ln (e^{- 8 x})}{8}$

ステップ 5.2.3

$- 8 x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{- 8 x})$ を展開します。

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{- 8 x \ln (e)}{8}$

ステップ 5.2.4

$- 8$ と $8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.4.1

$8$ を $- 8 x \ln (e)$ で因数分解します。

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{8 (- x \ln (e))}{8}$

ステップ 5.2.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.4.2.1

$8$ を $8$ で因数分解します。

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{8 (- x \ln (e))}{8 (1)}$

ステップ 5.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{8 (- x \ln (e))}{8 \cdot 1}$

ステップ 5.2.4.2.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{- x \ln (e)}{1}$

ステップ 5.2.4.2.4

$- x \ln (e)$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - (- x \ln (e))$

ステップ 5.2.5

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - (- x \cdot 1)$

ステップ 5.2.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (- \frac{\ln (x)}{8})$ の値を求めます。

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{- 8 (- \frac{\ln (x)}{8})}$

ステップ 5.3.3

$8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1

$- \frac{\ln (x)}{8}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{- 8 \frac{- \ln (x)}{8}}$

ステップ 5.3.3.2

$8$ を $- 8$ で因数分解します。

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{8 (- 1) (\frac{- \ln (x)}{8})}$

ステップ 5.3.3.3

共通因数を約分します。

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{8 \cdot (- 1 \frac{- \ln (x)}{8})}$

ステップ 5.3.3.4

式を書き換えます。

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{- 1 (- \ln (x))}$

ステップ 5.3.4

掛け算します。

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ステップ 5.3.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{1 \ln (x)}$

ステップ 5.3.4.2

$\ln (x)$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{\ln (x)}$

ステップ 5.3.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{8}$ は $f (x) = e^{- 8 x}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{8}$

微分積分 例

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