微分積分例

$f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$

ステップ 1

$f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ を方程式で書きます。

$y = 2 x^{2} + 3 x + 1$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 2 y^{2} + 3 y + 1$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $2 y^{2} + 3 y + 1 = x$ として書き換えます。

$2 y^{2} + 3 y + 1 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$2 y^{2} + 3 y + 1 - x = 0$

ステップ 3.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.4

$a = 2$ 、 $b = 3$ 、および $c = 1 - x$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (1 - x))}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.5.1.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.5.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.5.1.4

$- 8$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.5.1.5

$- 1$ に $- 8$ をかけます。

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.5.1.6

$9$ から $8$ を引きます。

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{1 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.5.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{1 + 8 x}}{4}$

ステップ 3.6

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 3.6.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.6.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.6.1.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.6.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.6.1.4

$- 8$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.6.1.5

$- 1$ に $- 8$ をかけます。

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.6.1.6

$9$ から $8$ を引きます。

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{1 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.6.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{1 + 8 x}}{4}$

ステップ 3.6.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = \frac{- 3 + \sqrt{1 + 8 x}}{4}$

ステップ 3.6.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$y = \frac{- 1 \cdot 3 + \sqrt{1 + 8 x}}{4}$

ステップ 3.6.5

$- 1$ を $\sqrt{1 + 8 x}$ で因数分解します。

$y = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \sqrt{1 + 8 x})}{4}$

ステップ 3.6.6

$- 1$ を $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{1 + 8 x})$ で因数分解します。

$y = \frac{- 1 (3 - \sqrt{1 + 8 x})}{4}$

ステップ 3.6.7

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}$

ステップ 3.7

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 3.7.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.7.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.7.1.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.7.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.7.1.4

$- 8$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.7.1.5

$- 1$ に $- 8$ をかけます。

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.7.1.6

$9$ から $8$ を引きます。

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{1 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.7.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{1 + 8 x}}{4}$

ステップ 3.7.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = \frac{- 3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}$

ステップ 3.7.4

$- 1$ を $- 3 - \sqrt{1 + 8 x}$ で因数分解します。

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ステップ 3.7.4.1

$1$ と $8 x$ を並べ替えます。

$y = \frac{- 3 - \sqrt{8 x + 1}}{4}$

ステップ 3.7.4.2

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$y = \frac{- 1 \cdot 3 - \sqrt{8 x + 1}}{4}$

ステップ 3.7.4.3

$- 1$ を $- \sqrt{8 x + 1}$ で因数分解します。

$y = \frac{- 1 \cdot 3 - (\sqrt{8 x + 1})}{4}$

ステップ 3.7.4.4

$- 1$ を $- 1 (3) - (\sqrt{8 x + 1})$ で因数分解します。

$y = \frac{- 1 (3 + \sqrt{8 x + 1})}{4}$

ステップ 3.7.4.5

$- 1 (3 + \sqrt{8 x + 1})$ を $- (3 + \sqrt{8 x + 1})$ に書き換えます。

$y = \frac{- (3 + \sqrt{8 x + 1})}{4}$

ステップ 3.7.5

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$

ステップ 3.8

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$

$y = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$ が $f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆の定義域は元の関数の値域です、逆も同じです。定義域と $f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ の値域、 $f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$ を求め、それらを比較します。

ステップ 5.2

$f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ の値域を求めます。

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ステップ 5.2.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[- \frac{1}{8}, \infty)$

ステップ 5.3

$- \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.3.1

$\sqrt{1 + 8 x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$1 + 8 x \geq 0$

ステップ 5.3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 5.3.2.1

不等式の両辺から $1$ を引きます。

$8 x \geq - 1$

ステップ 5.3.2.2

$8 x \geq - 1$ の各項を $8$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.2.2.1

$8 x \geq - 1$ の各項を $8$ で割ります。

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 1}{8}$

ステップ 5.3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.2.2.1

$8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 1}{8}$

ステップ 5.3.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \geq \frac{- 1}{8}$

ステップ 5.3.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x \geq - \frac{1}{8}$

ステップ 5.3.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$[- \frac{1}{8}, \infty)$

ステップ 5.4

$f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.4.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 5.5

$f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$ の定義域が $f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ の範囲で、 $f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$ の範囲が $f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ の定義域なので、 $f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$ は $f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例