微分積分例

$f (x) = x^{2} - 2 x + 5$

ステップ 1

$f (x) = x^{2} - 2 x + 5$ を方程式で書きます。

$y = x^{2} - 2 x + 5$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = y^{2} - 2 y + 5$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $y^{2} - 2 y + 5 = x$ として書き換えます。

$y^{2} - 2 y + 5 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$y^{2} - 2 y + 5 - x = 0$

ステップ 3.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.4

$a = 1$ 、 $b = - 2$ 、および $c = 5 - x$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (5 - x))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.4

$- 4$ に $5$ をかけます。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.5

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.6

$4$ から $20$ を引きます。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 16 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.7

$4$ を $- 16 + 4 x$ で因数分解します。

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ステップ 3.5.1.7.1

$4$ を $- 16$ で因数分解します。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot - 4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.7.2

$4$ を $4 \cdot - 4 + 4 x$ で因数分解します。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 4 + x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.8

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 4 + x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.9

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 4 + x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 4 + x}}{2}$

ステップ 3.5.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{- 4 + x}}{2}$ を簡約します。

$y = 1 \pm \sqrt{- 4 + x}$

ステップ 3.6

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 3.6.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.6.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.4

$- 4$ に $5$ をかけます。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.5

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.6

$4$ から $20$ を引きます。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 16 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.7

$4$ を $- 16 + 4 x$ で因数分解します。

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ステップ 3.6.1.7.1

$4$ を $- 16$ で因数分解します。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot - 4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.7.2

$4$ を $4 \cdot - 4 + 4 x$ で因数分解します。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 4 + x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.8

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 4 + x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.9

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 4 + x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 4 + x}}{2}$

ステップ 3.6.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{- 4 + x}}{2}$ を簡約します。

$y = 1 \pm \sqrt{- 4 + x}$

ステップ 3.6.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = 1 + \sqrt{- 4 + x}$

ステップ 3.7

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 3.7.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.7.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.4

$- 4$ に $5$ をかけます。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.5

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.6

$4$ から $20$ を引きます。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 16 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.7

$4$ を $- 16 + 4 x$ で因数分解します。

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ステップ 3.7.1.7.1

$4$ を $- 16$ で因数分解します。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot - 4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.7.2

$4$ を $4 \cdot - 4 + 4 x$ で因数分解します。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 4 + x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.8

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 4 + x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.9

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 4 + x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 4 + x}}{2}$

ステップ 3.7.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{- 4 + x}}{2}$ を簡約します。

$y = 1 \pm \sqrt{- 4 + x}$

ステップ 3.7.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = 1 - \sqrt{- 4 + x}$

ステップ 3.8

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = 1 + \sqrt{- 4 + x}$

$y = 1 - \sqrt{- 4 + x}$

$y = 1 + \sqrt{- 4 + x}$

$y = 1 - \sqrt{- 4 + x}$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{- 4 + x}, 1 - \sqrt{- 4 + x}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{- 4 + x}, 1 - \sqrt{- 4 + x}$ が $f (x) = x^{2} - 2 x + 5$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆の定義域は元の関数の値域です、逆も同じです。定義域と $f (x) = x^{2} - 2 x + 5$ の値域、 $f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{- 4 + x}, 1 - \sqrt{- 4 + x}$ を求め、それらを比較します。

ステップ 5.2

$f (x) = x^{2} - 2 x + 5$ の値域を求めます。

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ステップ 5.2.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[4, \infty)$

ステップ 5.3

$1 + \sqrt{- 4 + x}$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.3.1

$\sqrt{- 4 + x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$- 4 + x \geq 0$

ステップ 5.3.2

不等式の両辺に $4$ を足します。

$x \geq 4$

ステップ 5.3.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$[4, \infty)$

ステップ 5.4

$f (x) = x^{2} - 2 x + 5$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.4.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 5.5

$f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{- 4 + x}, 1 - \sqrt{- 4 + x}$ の定義域が $f (x) = x^{2} - 2 x + 5$ の範囲で、 $f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{- 4 + x}, 1 - \sqrt{- 4 + x}$ の範囲が $f (x) = x^{2} - 2 x + 5$ の定義域なので、 $f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{- 4 + x}, 1 - \sqrt{- 4 + x}$ は $f (x) = x^{2} - 2 x + 5$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{- 4 + x}, 1 - \sqrt{- 4 + x}$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例