微分積分例

$f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$

ステップ 1

$f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$ を方程式で書きます。

$y = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 3 e^{\frac{1}{3} y + 1}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$ として書き換えます。

$3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$

ステップ 3.2

$3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 e^{\frac{1}{3} y + 1}}{3} = \frac{x}{3}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 e^{\frac{1}{3} y + 1}}{3} = \frac{x}{3}$

ステップ 3.2.2.1.2

$e^{\frac{1}{3} y + 1}$ を $1$ で割ります。

$e^{\frac{1}{3} y + 1} = \frac{x}{3}$

ステップ 3.2.2.2

$\frac{1}{3}$ と $y$ をまとめます。

$e^{\frac{y}{3} + 1} = \frac{x}{3}$

ステップ 3.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{\frac{y}{3} + 1}) = \ln (\frac{x}{3})$

ステップ 3.4

左辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$\frac{y}{3} + 1$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{\frac{y}{3} + 1})$ を展開します。

$(\frac{y}{3} + 1) \ln (e) = \ln (\frac{x}{3})$

ステップ 3.4.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$(\frac{y}{3} + 1) \cdot 1 = \ln (\frac{x}{3})$

ステップ 3.4.3

$\frac{y}{3} + 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{y}{3} + 1 = \ln (\frac{x}{3})$

ステップ 3.5

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\frac{y}{3} = \ln (\frac{x}{3}) - 1$

ステップ 3.6

方程式の両辺に $3$ を掛けます。

$3 \frac{y}{3} = 3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$

ステップ 3.7

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.1.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{y}{3} = 3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$

ステップ 3.7.1.1.2

式を書き換えます。

$y = 3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$

ステップ 3.7.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.2.1

$3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y = 3 \ln (\frac{x}{3}) + 3 \cdot - 1$

ステップ 3.7.2.1.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$y = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$ が $f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 \ln (\frac{3 e^{\frac{1}{3} x + 1}}{3}) - 3$

ステップ 5.2.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 \ln (\frac{3 e^{\frac{1}{3} x + 1}}{3}) - 3$

ステップ 5.2.3.1.2

$e^{\frac{1}{3} x + 1}$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 \ln (e^{\frac{1}{3} x + 1}) - 3$

ステップ 5.2.3.2

対数の法則を利用して指数の外に $\frac{1}{3} x + 1$ を移動します。

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 ((\frac{1}{3} x + 1) \ln (e)) - 3$

ステップ 5.2.3.3

$\frac{1}{3}$ と $x$ をまとめます。

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 ((\frac{x}{3} + 1) \ln (e)) - 3$

ステップ 5.2.3.4

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 ((\frac{x}{3} + 1) \cdot 1) - 3$

ステップ 5.2.3.5

$\frac{x}{3} + 1$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 (\frac{x}{3} + 1) - 3$

ステップ 5.2.3.6

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 \cdot 1 - 3$

ステップ 5.2.3.7

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.7.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 \cdot 1 - 3$

ステップ 5.2.3.7.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x + 3 \cdot 1 - 3$

ステップ 5.2.3.8

$3$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x + 3 - 3$

ステップ 5.2.4

$x + 3 - 3$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$3$ から $3$ を引きます。

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x + 0$

ステップ 5.2.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3)$ の値を求めます。

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) + 1}$

ステップ 5.3.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.1

対数の中の $3$ を移動させて $3 \ln (\frac{x}{3})$ を簡約します。

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (\ln ({(\frac{x}{3})}^{3}) - 3) + 1}$

ステップ 5.3.3.1.2

積の法則を $\frac{x}{3}$ に当てはめます。

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (\ln (\frac{x^{3}}{3^{3}}) - 3) + 1}$

ステップ 5.3.3.1.3

$3$ を $3$ 乗します。

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (\ln (\frac{x^{3}}{27}) - 3) + 1}$

ステップ 5.3.3.2

分配則を当てはめます。

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{x^{3}}{27}) + \frac{1}{3} \cdot - 3 + 1}$

ステップ 5.3.3.3

対数の中の $\frac{1}{3}$ を移動させて $\frac{1}{3} \ln (\frac{x^{3}}{27})$ を簡約します。

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3} \cdot - 3 + 1}$

ステップ 5.3.3.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.4.1

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3} \cdot (3 (- 1)) + 1}$

ステップ 5.3.3.4.2

共通因数を約分します。

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 1) + 1}$

ステップ 5.3.3.4.3

式を書き換えます。

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) - 1 + 1}$

ステップ 5.3.3.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.5.1

積の法則を $\frac{x^{3}}{27}$ に当てはめます。

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{{(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

ステップ 5.3.3.5.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.5.2.1

${(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.5.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x^{3 (\frac{1}{3})}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

ステップ 5.3.3.5.2.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.5.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x^{3 (\frac{1}{3})}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

ステップ 5.3.3.5.2.1.2.2

式を書き換えます。

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x^{1}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

ステップ 5.3.3.5.2.2

簡約します。

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

ステップ 5.3.3.5.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.5.3.1

$27$ を $3^{3}$ に書き換えます。

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{{(3^{3})}^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

ステップ 5.3.3.5.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{3 (\frac{1}{3})}}) - 1 + 1}$

ステップ 5.3.3.5.3.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.5.3.3.1

共通因数を約分します。

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{3 (\frac{1}{3})}}) - 1 + 1}$

ステップ 5.3.3.5.3.3.2

式を書き換えます。

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{1}}) - 1 + 1}$

ステップ 5.3.3.5.3.4

指数を求めます。

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3}) - 1 + 1}$

ステップ 5.3.4

$\ln (\frac{x}{3}) - 1 + 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3}) + 0}$

ステップ 5.3.4.2

$\ln (\frac{x}{3})$ と $0$ をたし算します。

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3})}$

ステップ 5.3.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 (\frac{x}{3})$

ステップ 5.3.6

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.1

共通因数を約分します。

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 (\frac{x}{3})$

ステップ 5.3.6.2

式を書き換えます。

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$ は $f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$

微分積分 例

微分積分例