微分積分例

$f (x) = \frac{3}{2} x + 3$

ステップ 1

$f (x) = \frac{3}{2} x + 3$ を方程式で書きます。

$y = \frac{3}{2} x + 3$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{3}{2} y + 3$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $\frac{3}{2} y + 3 = x$ として書き換えます。

$\frac{3}{2} y + 3 = x$

ステップ 3.2

$\frac{3}{2}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{3 y}{2} + 3 = x$

ステップ 3.3

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$\frac{3 y}{2} = x - 3$

ステップ 3.4

方程式の両辺に $\frac{2}{3}$ を掛けます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y}{2} = \frac{2}{3} (x - 3)$

ステップ 3.5

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.5.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.1.1

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y}{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y}{2} = \frac{2}{3} (x - 3)$

ステップ 3.5.1.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} (3 y) = \frac{2}{3} (x - 3)$

ステップ 3.5.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.1.2.1

$3$ を $3 y$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} (3 (y)) = \frac{2}{3} (x - 3)$

ステップ 3.5.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3} (3 y) = \frac{2}{3} (x - 3)$

ステップ 3.5.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{2}{3} (x - 3)$

ステップ 3.5.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

$\frac{2}{3} (x - 3)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot - 3$

ステップ 3.5.2.1.2

$\frac{2}{3}$ と $x$ をまとめます。

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 3$

ステップ 3.5.2.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.3.1

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot (3 (- 1))$

ステップ 3.5.2.1.3.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot (3 \cdot - 1)$

ステップ 3.5.2.1.3.3

式を書き換えます。

$y = \frac{2 x}{3} + 2 \cdot - 1$

ステップ 3.5.2.1.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{2 x}{3} - 2$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{3} - 2$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{3} - 2$ が $f (x) = \frac{3}{2} x + 3$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{2 (\frac{3}{2} x + 3)}{3} - 2$

ステップ 5.2.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1.1

$\frac{3}{2}$ と $x$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{2 (\frac{3 x}{2} + 3)}{3} - 2$

ステップ 5.2.3.1.2

$3$ を $\frac{3 x}{2} + 3$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.2.1

$3$ を $\frac{3 x}{2}$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{2 (3 (\frac{x}{2}) + 3)}{3} - 2$

ステップ 5.2.3.1.2.2

$3$ を $3$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{2 (3 (\frac{x}{2}) + 3 (1))}{3} - 2$

ステップ 5.2.3.1.2.3

$3$ を $3 \frac{x}{2} + 3 (1)$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{2 (3 (\frac{x}{2} + 1))}{3} - 2$

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{2 \cdot (3 (\frac{x}{2} + 1))}{3} - 2$

ステップ 5.2.3.1.3

$2$ に $3$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{6 (\frac{x}{2} + 1)}{3} - 2$

ステップ 5.2.3.1.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{6 (\frac{x}{2} + \frac{2}{2})}{3} - 2$

ステップ 5.2.3.1.5

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{6 (\frac{x + 2}{2})}{3} - 2$

ステップ 5.2.3.2

$6$ と $\frac{x + 2}{2}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{\frac{6 (x + 2)}{2}}{3} - 2$

ステップ 5.2.3.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 5.2.3.3.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{6 (x + 2)}{2}$ を約分します。

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ステップ 5.2.3.3.1.1

$2$ を $6 (x + 2)$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{\frac{2 (3 (x + 2))}{2}}{3} - 2$

ステップ 5.2.3.3.1.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{\frac{2 (3 (x + 2))}{2 (1)}}{3} - 2$

ステップ 5.2.3.3.1.3

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{\frac{2 (3 (x + 2))}{2 \cdot 1}}{3} - 2$

ステップ 5.2.3.3.1.4

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{\frac{3 (x + 2)}{1}}{3} - 2$

ステップ 5.2.3.3.2

$3 (x + 2)$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{3 (x + 2)}{3} - 2$

ステップ 5.2.3.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{3 (x + 2)}{3} - 2$

ステップ 5.2.3.4.2

$x + 2$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = x + 2 - 2$

ステップ 5.2.4

$x + 2 - 2$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.4.1

$2$ から $2$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = x + 0$

ステップ 5.2.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{2 x}{3} - 2)$ の値を求めます。

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{2 x}{3} - 2) + 3$

ステップ 5.3.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

分配則を当てはめます。

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2} \cdot - 2 + 3$

ステップ 5.3.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2} \cdot - 2 + 3$

ステップ 5.3.3.2.2

式を書き換えます。

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{3}{2} \cdot - 2 + 3$

ステップ 5.3.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.3.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x)) + \frac{3}{2} \cdot - 2 + 3$

ステップ 5.3.3.3.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{3}{2} \cdot - 2 + 3$

ステップ 5.3.3.3.3

式を書き換えます。

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = x + \frac{3}{2} \cdot - 2 + 3$

ステップ 5.3.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.4.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = x + \frac{3}{2} \cdot (2 (- 1)) + 3$

ステップ 5.3.3.4.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = x + \frac{3}{2} \cdot (2 \cdot - 1) + 3$

ステップ 5.3.3.4.3

式を書き換えます。

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = x + 3 \cdot - 1 + 3$

ステップ 5.3.3.5

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = x - 3 + 3$

ステップ 5.3.4

$x - 3 + 3$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$- 3$ と $3$ をたし算します。

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = x + 0$

ステップ 5.3.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{3} - 2$ は $f (x) = \frac{3}{2} x + 3$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{3} - 2$

微分積分 例

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