微分積分例

$f (x) = 9 \sqrt[7]{8 x - 7}$

ステップ 1

$f (x) = 9 \sqrt[7]{8 x - 7}$ を方程式で書きます。

$y = 9 \sqrt[7]{8 x - 7}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 9 \sqrt[7]{8 y - 7}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $9 \sqrt[7]{8 y - 7} = x$ として書き換えます。

$9 \sqrt[7]{8 y - 7} = x$

ステップ 3.2

$9 \sqrt[7]{8 y - 7} = x$ の各項を $9$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$9 \sqrt[7]{8 y - 7} = x$ の各項を $9$ で割ります。

$\frac{9 \sqrt[7]{8 y - 7}}{9} = \frac{x}{9}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 \sqrt[7]{8 y - 7}}{9} = \frac{x}{9}$

ステップ 3.2.2.1.2

$\sqrt[7]{8 y - 7}$ を $1$ で割ります。

$\sqrt[7]{8 y - 7} = \frac{x}{9}$

ステップ 3.3

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を $7$ 乗します。

${\sqrt[7]{8 y - 7}}^{7} = {(\frac{x}{9})}^{7}$

ステップ 3.4

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[7]{8 y - 7}$ を ${(8 y - 7)}^{\frac{1}{7}}$ に書き換えます。

${({(8 y - 7)}^{\frac{1}{7}})}^{7} = {(\frac{x}{9})}^{7}$

ステップ 3.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

${({(8 y - 7)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1

${({(8 y - 7)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(8 y - 7)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(\frac{x}{9})}^{7}$

ステップ 3.4.2.1.1.2

$7$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(8 y - 7)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(\frac{x}{9})}^{7}$

ステップ 3.4.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(8 y - 7)}^{1} = {(\frac{x}{9})}^{7}$

ステップ 3.4.2.1.2

簡約します。

$8 y - 7 = {(\frac{x}{9})}^{7}$

ステップ 3.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

${(\frac{x}{9})}^{7}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1.1

積の法則を $\frac{x}{9}$ に当てはめます。

$8 y - 7 = \frac{x^{7}}{9^{7}}$

ステップ 3.4.3.1.2

$9$ を $7$ 乗します。

$8 y - 7 = \frac{x^{7}}{4782969}$

ステップ 3.5

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

方程式の両辺に $7$ を足します。

$8 y = \frac{x^{7}}{4782969} + 7$

ステップ 3.5.2

$8 y = \frac{x^{7}}{4782969} + 7$ の各項を $8$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

$8 y = \frac{x^{7}}{4782969} + 7$ の各項を $8$ で割ります。

$\frac{8 y}{8} = \frac{\frac{x^{7}}{4782969}}{8} + \frac{7}{8}$

ステップ 3.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.1

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{8 y}{8} = \frac{\frac{x^{7}}{4782969}}{8} + \frac{7}{8}$

ステップ 3.5.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\frac{x^{7}}{4782969}}{8} + \frac{7}{8}$

ステップ 3.5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.3.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = \frac{x^{7}}{4782969} \cdot \frac{1}{8} + \frac{7}{8}$

ステップ 3.5.2.3.1.2

まとめる。

$y = \frac{x^{7} \cdot 1}{4782969 \cdot 8} + \frac{7}{8}$

ステップ 3.5.2.3.1.3

$x^{7}$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{x^{7}}{4782969 \cdot 8} + \frac{7}{8}$

ステップ 3.5.2.3.1.4

$4782969$ に $8$ をかけます。

$y = \frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}$ が $f (x) = 9 \sqrt[7]{8 x - 7}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{{(9 \sqrt[7]{8 x - 7})}^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}$

ステップ 5.2.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1

積の法則を $9 \sqrt[7]{8 x - 7}$ に当てはめます。

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{9^{7} {\sqrt[7]{8 x - 7}}^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}$

ステップ 5.2.3.1.2

$9$ を $7$ 乗します。

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{4782969 {\sqrt[7]{8 x - 7}}^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}$

ステップ 5.2.3.1.3

${\sqrt[7]{8 x - 7}}^{7}$ を $8 x - 7$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[7]{8 x - 7}$ を ${(8 x - 7)}^{\frac{1}{7}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{4782969 {({(8 x - 7)}^{\frac{1}{7}})}^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}$

ステップ 5.2.3.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{4782969 {(8 x - 7)}^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{38263752} + \frac{7}{8}$

ステップ 5.2.3.1.3.3

$\frac{1}{7}$ と $7$ をまとめます。

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{4782969 {(8 x - 7)}^{\frac{7}{7}}}{38263752} + \frac{7}{8}$

ステップ 5.2.3.1.3.4

$7$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{4782969 {(8 x - 7)}^{\frac{7}{7}}}{38263752} + \frac{7}{8}$

ステップ 5.2.3.1.3.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{4782969 (8 x - 7)}{38263752} + \frac{7}{8}$

ステップ 5.2.3.1.3.5

簡約します。

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{4782969 (8 x - 7)}{38263752} + \frac{7}{8}$

ステップ 5.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1

$4782969$ を $38263752$ で因数分解します。

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{4782969 (8 x - 7)}{4782969 \cdot 8} + \frac{7}{8}$

ステップ 5.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{4782969 (8 x - 7)}{4782969 \cdot 8} + \frac{7}{8}$

ステップ 5.2.3.2.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{8 x - 7}{8} + \frac{7}{8}$

ステップ 5.2.4

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{8 x - 7 + 7}{8}$

ステップ 5.2.4.2

$8 x - 7 + 7$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.2.1

$- 7$ と $7$ をたし算します。

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{8 x + 0}{8}$

ステップ 5.2.4.2.2

$8 x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{8 x}{8}$

ステップ 5.2.4.3

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.3.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{8 x}{8}$

ステップ 5.2.4.3.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8})$ の値を求めます。

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 \sqrt[7]{8 (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) - 7}$

ステップ 5.3.3

分配則を当てはめます。

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 \sqrt[7]{8 (\frac{x^{7}}{38263752}) + 8 (\frac{7}{8}) - 7}$

ステップ 5.3.4

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$8$ を $38263752$ で因数分解します。

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 \sqrt[7]{8 (\frac{x^{7}}{8 (4782969)}) + 8 (\frac{7}{8}) - 7}$

ステップ 5.3.4.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 \sqrt[7]{8 (\frac{x^{7}}{8 \cdot 4782969}) + 8 (\frac{7}{8}) - 7}$

ステップ 5.3.4.3

式を書き換えます。

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 \sqrt[7]{\frac{x^{7}}{4782969} + 8 (\frac{7}{8}) - 7}$

ステップ 5.3.5

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 \sqrt[7]{\frac{x^{7}}{4782969} + 8 (\frac{7}{8}) - 7}$

ステップ 5.3.5.2

式を書き換えます。

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 \sqrt[7]{\frac{x^{7}}{4782969} + 7 - 7}$

ステップ 5.3.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.1

$7$ から $7$ を引きます。

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 \sqrt[7]{\frac{x^{7}}{4782969} + 0}$

ステップ 5.3.6.2

$\frac{x^{7}}{4782969}$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 \sqrt[7]{\frac{x^{7}}{4782969}}$

ステップ 5.3.6.3

$4782969$ を $9^{7}$ に書き換えます。

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 \sqrt[7]{\frac{x^{7}}{9^{7}}}$

ステップ 5.3.7

$\frac{x^{7}}{9^{7}}$ を ${(\frac{x}{9})}^{7}$ に書き換えます。

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 \sqrt[7]{{(\frac{x}{9})}^{7}}$

ステップ 5.3.8

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 (\frac{x}{9})$

ステップ 5.3.9

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.9.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 (\frac{x}{9})$

ステップ 5.3.9.2

式を書き換えます。

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}$ は $f (x) = 9 \sqrt[7]{8 x - 7}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}$

微分積分 例

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