微分積分例

$f (x) = e^{2 x} + 1$

ステップ 1

$f (x) = e^{2 x} + 1$ を方程式で書きます。

$y = e^{2 x} + 1$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = e^{2 y} + 1$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $e^{2 y} + 1 = x$ として書き換えます。

$e^{2 y} + 1 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$e^{2 y} = x - 1$

ステップ 3.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{2 y}) = \ln (x - 1)$

ステップ 3.4

左辺を展開します。

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ステップ 3.4.1

$2 y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{2 y})$ を展開します。

$2 y \ln (e) = \ln (x - 1)$

ステップ 3.4.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$2 y \cdot 1 = \ln (x - 1)$

ステップ 3.4.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 y = \ln (x - 1)$

ステップ 3.5

$2 y = \ln (x - 1)$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.1

$2 y = \ln (x - 1)$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x - 1)}{2}$

ステップ 3.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x - 1)}{2}$

ステップ 3.5.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (x - 1)}{2}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 1)}{2}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 1)}{2}$ が $f (x) = e^{2 x} + 1$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (e^{2 x} + 1)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \frac{\ln ((e^{2 x} + 1) - 1)}{2}$

ステップ 5.2.3

対数の中の $\frac{1}{2}$ を移動させて $\frac{1}{2} \ln (e^{2 x} + 1 - 1)$ を簡約します。

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + 1 - 1)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 5.2.4

$e^{2 x} + 1 - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.4.1

$1$ から $1$ を引きます。

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + 0)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 5.2.4.2

$e^{2 x}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 5.2.5

${(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.2.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

ステップ 5.2.5.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.5.2.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 (x) (\frac{1}{2})})$

ステップ 5.2.5.2.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

ステップ 5.2.5.2.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln (e^{x})$

ステップ 5.2.6

対数の法則を利用して指数の外に $x$ を移動します。

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = x \ln (e)$

ステップ 5.2.7

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = x \cdot 1$

ステップ 5.2.8

$x$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{\ln (x - 1)}{2})$ の値を求めます。

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x - 1)}{2})} + 1$

ステップ 5.3.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x - 1)}{2})} + 1$

ステップ 5.3.3.1.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = e^{\ln (x - 1)} + 1$

ステップ 5.3.3.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = x - 1 + 1$

ステップ 5.3.4

$x - 1 + 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.4.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = x + 0$

ステップ 5.3.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 1)}{2}$ は $f (x) = e^{2 x} + 1$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 1)}{2}$

微分積分 例

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