微分積分例

$f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$

ステップ 1

$f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ を方程式で書きます。

$y = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{1}{3} + 2 y^{2} - 12 y - 20$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $\frac{1}{3} + 2 y^{2} - 12 y - 20 = x$ として書き換えます。

$\frac{1}{3} + 2 y^{2} - 12 y - 20 = x$

ステップ 3.2

$\frac{1}{3} + 2 y^{2} - 12 y - 20$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- 20$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$2 y^{2} - 12 y + \frac{1}{3} - 20 \cdot \frac{3}{3} = x$

ステップ 3.2.2

$- 20$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$2 y^{2} - 12 y + \frac{1}{3} + \frac{- 20 \cdot 3}{3} = x$

ステップ 3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$2 y^{2} - 12 y + \frac{1 - 20 \cdot 3}{3} = x$

ステップ 3.2.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

$- 20$ に $3$ をかけます。

$2 y^{2} - 12 y + \frac{1 - 60}{3} = x$

ステップ 3.2.4.2

$1$ から $60$ を引きます。

$2 y^{2} - 12 y + \frac{- 59}{3} = x$

ステップ 3.2.5

分数の前に負数を移動させます。

$2 y^{2} - 12 y - \frac{59}{3} = x$

ステップ 3.3

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$2 y^{2} - 12 y - \frac{59}{3} - x = 0$

ステップ 3.4

両辺に最小公分母 $3$ を掛け、次に簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

分配則を当てはめます。

$3 (2 y^{2}) + 3 (- 12 y) + 3 (- \frac{59}{3}) + 3 (- x) = 0$

ステップ 3.4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$2$ に $3$ をかけます。

$6 y^{2} + 3 (- 12 y) + 3 (- \frac{59}{3}) + 3 (- x) = 0$

ステップ 3.4.2.2

$- 12$ に $3$ をかけます。

$6 y^{2} - 36 y + 3 (- \frac{59}{3}) + 3 (- x) = 0$

ステップ 3.4.2.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.3.1

$- \frac{59}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$6 y^{2} - 36 y + 3 (\frac{- 59}{3}) + 3 (- x) = 0$

ステップ 3.4.2.3.2

共通因数を約分します。

$6 y^{2} - 36 y + 3 (\frac{- 59}{3}) + 3 (- x) = 0$

ステップ 3.4.2.3.3

式を書き換えます。

$6 y^{2} - 36 y - 59 + 3 (- x) = 0$

ステップ 3.4.2.4

$- 1$ に $3$ をかけます。

$6 y^{2} - 36 y - 59 - 3 x = 0$

ステップ 3.4.3

$- 59$ を移動させます。

$6 y^{2} - 36 y - 3 x - 59 = 0$

ステップ 3.4.4

$- 36 y$ を移動させます。

$6 y^{2} - 3 x - 36 y - 59 = 0$

ステップ 3.5

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.6

$a = 6$ 、 $b = - 36$ 、および $c = - 3 x - 59$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{36 \pm \sqrt{{(- 36)}^{2} - 4 \cdot (6 \cdot (- 3 x - 59))}}{2 \cdot 6}$

ステップ 3.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.1

$- 36$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 6 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

ステップ 3.7.1.2

$- 4$ に $6$ をかけます。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

ステップ 3.7.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 (- 3 x) - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

ステップ 3.7.1.4

$- 3$ に $- 24$ をかけます。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

ステップ 3.7.1.5

$- 24$ に $- 59$ をかけます。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x + 1416}}{2 \cdot 6}$

ステップ 3.7.1.6

$1296$ と $1416$ をたし算します。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{72 x + 2712}}{2 \cdot 6}$

ステップ 3.7.1.7

$24$ を $72 x + 2712$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.7.1

$24$ を $72 x$ で因数分解します。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 2712}}{2 \cdot 6}$

ステップ 3.7.1.7.2

$24$ を $2712$ で因数分解します。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 24 (113)}}{2 \cdot 6}$

ステップ 3.7.1.7.3

$24$ を $24 (3 x) + 24 (113)$ で因数分解します。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

ステップ 3.7.1.8

$24 (3 x + 113)$ を $2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.8.1

$4$ を $24$ で因数分解します。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{4 (6) (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

ステップ 3.7.1.8.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

ステップ 3.7.1.8.3

括弧を付けます。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

ステップ 3.7.1.9

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

ステップ 3.7.2

$2$ に $6$ をかけます。

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$

ステップ 3.7.3

$\frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$ を簡約します。

$y = \frac{18 \pm \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

ステップ 3.8

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1.1

$- 36$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 6 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

ステップ 3.8.1.2

$- 4$ に $6$ をかけます。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

ステップ 3.8.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 (- 3 x) - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

ステップ 3.8.1.4

$- 3$ に $- 24$ をかけます。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

ステップ 3.8.1.5

$- 24$ に $- 59$ をかけます。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x + 1416}}{2 \cdot 6}$

ステップ 3.8.1.6

$1296$ と $1416$ をたし算します。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{72 x + 2712}}{2 \cdot 6}$

ステップ 3.8.1.7

$24$ を $72 x + 2712$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1.7.1

$24$ を $72 x$ で因数分解します。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 2712}}{2 \cdot 6}$

ステップ 3.8.1.7.2

$24$ を $2712$ で因数分解します。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 24 (113)}}{2 \cdot 6}$

ステップ 3.8.1.7.3

$24$ を $24 (3 x) + 24 (113)$ で因数分解します。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

ステップ 3.8.1.8

$24 (3 x + 113)$ を $2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1.8.1

$4$ を $24$ で因数分解します。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{4 (6) (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

ステップ 3.8.1.8.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

ステップ 3.8.1.8.3

括弧を付けます。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

ステップ 3.8.1.9

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

ステップ 3.8.2

$2$ に $6$ をかけます。

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$

ステップ 3.8.3

$\frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$ を簡約します。

$y = \frac{18 \pm \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

ステップ 3.8.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

ステップ 3.9

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1.1

$- 36$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 6 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

ステップ 3.9.1.2

$- 4$ に $6$ をかけます。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

ステップ 3.9.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 (- 3 x) - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

ステップ 3.9.1.4

$- 3$ に $- 24$ をかけます。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

ステップ 3.9.1.5

$- 24$ に $- 59$ をかけます。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x + 1416}}{2 \cdot 6}$

ステップ 3.9.1.6

$1296$ と $1416$ をたし算します。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{72 x + 2712}}{2 \cdot 6}$

ステップ 3.9.1.7

$24$ を $72 x + 2712$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1.7.1

$24$ を $72 x$ で因数分解します。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 2712}}{2 \cdot 6}$

ステップ 3.9.1.7.2

$24$ を $2712$ で因数分解します。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 24 (113)}}{2 \cdot 6}$

ステップ 3.9.1.7.3

$24$ を $24 (3 x) + 24 (113)$ で因数分解します。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

ステップ 3.9.1.8

$24 (3 x + 113)$ を $2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1.8.1

$4$ を $24$ で因数分解します。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{4 (6) (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

ステップ 3.9.1.8.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

ステップ 3.9.1.8.3

括弧を付けます。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

ステップ 3.9.1.9

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

ステップ 3.9.2

$2$ に $6$ をかけます。

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$

ステップ 3.9.3

$\frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$ を簡約します。

$y = \frac{18 \pm \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

ステップ 3.9.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

ステップ 3.10

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

$y = \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

$y = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

$y = \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ が $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆の定義域は元の関数の値域です、逆も同じです。定義域と $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ の値域、 $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ を求め、それらを比較します。

ステップ 5.2

$f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ の値域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[- \frac{113}{3}, \infty)$

ステップ 5.3

$\frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$\sqrt{6 (3 x + 113)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$6 (3 x + 113) \geq 0$

ステップ 5.3.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$6 (3 x + 113) \geq 0$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

$6 (3 x + 113) \geq 0$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 (3 x + 113)}{6} \geq \frac{0}{6}$

ステップ 5.3.2.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 (3 x + 113)}{6} \geq \frac{0}{6}$

ステップ 5.3.2.1.2.1.2

$3 x + 113$ を $1$ で割ります。

$3 x + 113 \geq \frac{0}{6}$

ステップ 5.3.2.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.3.1

$0$ を $6$ で割ります。

$3 x + 113 \geq 0$

ステップ 5.3.2.2

不等式の両辺から $113$ を引きます。

$3 x \geq - 113$

ステップ 5.3.2.3

$3 x \geq - 113$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.3.1

$3 x \geq - 113$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{- 113}{3}$

ステップ 5.3.2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{- 113}{3}$

ステップ 5.3.2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \geq \frac{- 113}{3}$

ステップ 5.3.2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x \geq - \frac{113}{3}$

ステップ 5.3.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$[- \frac{113}{3}, \infty)$

ステップ 5.4

$f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 5.5

$f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ の定義域が $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ の範囲で、 $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ の範囲が $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ の定義域なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ は $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例