微分積分例

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$

ステップ 1

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ を方程式で書きます。

$y = x^{\frac{2}{3}}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = y^{\frac{2}{3}}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $y^{\frac{2}{3}} = x$ として書き換えます。

$y^{\frac{2}{3}} = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺を $\frac{3}{2}$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 3.3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.3.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 3.3.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 3.3.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 3.3.1.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 3.3.1.1.3.2

式を書き換えます。

$y^{1} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 3.3.1.2

簡約します。

$y = \pm x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 3.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 3.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 3.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = x^{\frac{3}{2}}$

$y = - x^{\frac{3}{2}}$

$y = x^{\frac{3}{2}}$

$y = - x^{\frac{3}{2}}$

$y = x^{\frac{3}{2}}$

$y = - x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ が $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆の定義域は元の関数の値域です、逆も同じです。定義域と $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ の値域、 $f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ を求め、それらを比較します。

ステップ 5.2

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ の値域を求めます。

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ステップ 5.2.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[0, \infty)$

ステップ 5.3

$x^{\frac{3}{2}}$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.3.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\sqrt{x^{3}}$

ステップ 5.3.2

$\sqrt{x^{3}}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x^{3} \geq 0$

ステップ 5.3.3

$x$ について解きます。

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ステップ 5.3.3.1

不等式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sqrt[3]{x^{3}} \geq \sqrt[3]{0}$

ステップ 5.3.3.2

方程式を簡約します。

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ステップ 5.3.3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.2.1.1

累乗根の下から項を取り出します。

$x \geq \sqrt[3]{0}$

ステップ 5.3.3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.2.2.1

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

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ステップ 5.3.3.2.2.1.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x \geq \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 5.3.3.2.2.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x \geq 0$

ステップ 5.3.4

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$[0, \infty)$

ステップ 5.4

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.4.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\sqrt[3]{x^{2}}$

ステップ 5.4.2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 5.5

$f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ の定義域が $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ の範囲で、 $f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ の範囲が $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ の定義域なので、 $f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ は $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例