微分積分例

$f (x) = \cos (9 x)$

ステップ 1

$f (x) = \cos (9 x)$ を方程式で書きます。

$y = \cos (9 x)$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \cos (9 y)$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $\cos (9 y) = x$ として書き換えます。

$\cos (9 y) = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $y$ を取り出します。

$9 y = \arccos (x)$

ステップ 3.3

$9 y = \arccos (x)$ の各項を $9$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.1

$9 y = \arccos (x)$ の各項を $9$ で割ります。

$\frac{9 y}{9} = \frac{\arccos (x)}{9}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 y}{9} = \frac{\arccos (x)}{9}$

ステップ 3.3.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\arccos (x)}{9}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{9}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{9}$ が $f (x) = \cos (9 x)$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\cos (9 x))$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\cos (9 x)) = \frac{\arccos (\cos (9 x))}{9}$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{\arccos (x)}{9})$ の値を求めます。

$f (\frac{\arccos (x)}{9}) = \cos (9 (\frac{\arccos (x)}{9}))$

ステップ 5.3.3

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\arccos (x)}{9}) = \cos (9 (\frac{\arccos (x)}{9}))$

ステップ 5.3.3.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\arccos (x)}{9}) = \cos (\arccos (x))$

ステップ 5.3.4

関数の余弦と逆余弦は逆です。

$f (\frac{\arccos (x)}{9}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{9}$ は $f (x) = \cos (9 x)$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{9}$

微分積分 例

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