微分積分例

$f (x) = x^{5} - 2$

ステップ 1

$f (x) = x^{5} - 2$ を方程式で書きます。

$y = x^{5} - 2$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = y^{5} - 2$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $y^{5} - 2 = x$ として書き換えます。

$y^{5} - 2 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$y^{5} = x + 2$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[5]{x + 2}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x + 2}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x + 2}$ が $f (x) = x^{5} - 2$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (x^{5} - 2)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (x^{5} - 2) = \sqrt[5]{(x^{5} - 2) + 2}$

ステップ 5.2.3

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$f^{- 1} (x^{5} - 2) = \sqrt[5]{x^{5} + 0}$

ステップ 5.2.4

$x^{5}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (x^{5} - 2) = \sqrt[5]{x^{5}}$

ステップ 5.2.5

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f^{- 1} (x^{5} - 2) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\sqrt[5]{x + 2})$ の値を求めます。

$f (\sqrt[5]{x + 2}) = {(\sqrt[5]{x + 2})}^{5} - 2$

ステップ 5.3.3

${\sqrt[5]{x + 2}}^{5}$ を $x + 2$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[5]{x + 2}$ を ${(x + 2)}^{\frac{1}{5}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt[5]{x + 2}) = {({(x + 2)}^{\frac{1}{5}})}^{5} - 2$

ステップ 5.3.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\sqrt[5]{x + 2}) = {(x + 2)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} - 2$

ステップ 5.3.3.3

$\frac{1}{5}$ と $5$ をまとめます。

$f (\sqrt[5]{x + 2}) = {(x + 2)}^{\frac{5}{5}} - 2$

ステップ 5.3.3.4

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.4.1

共通因数を約分します。

$f (\sqrt[5]{x + 2}) = {(x + 2)}^{\frac{5}{5}} - 2$

ステップ 5.3.3.4.2

式を書き換えます。

$f (\sqrt[5]{x + 2}) = (x + 2) - 2$

ステップ 5.3.3.5

簡約します。

$f (\sqrt[5]{x + 2}) = x + 2 - 2$

ステップ 5.3.4

$x + 2 - 2$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.4.1

$2$ から $2$ を引きます。

$f (\sqrt[5]{x + 2}) = x + 0$

ステップ 5.3.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (\sqrt[5]{x + 2}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x + 2}$ は $f (x) = x^{5} - 2$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x + 2}$

微分積分 例

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