微分積分例

$f (t) = \frac{t}{3 - t} + 5 t^{3}$

ステップ 1

総和則では、 $\frac{t}{3 - t} + 5 t^{3}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [\frac{t}{3 - t}] + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$ です。

$\frac{d}{d t} [\frac{t}{3 - t}] + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d t} [\frac{t}{3 - t}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (t) = t$ および $g (t) = 3 - t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(3 - t) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [3 - t]}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(3 - t) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [3 - t]}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

ステップ 2.3

総和則では、 $3 - t$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [- t]$ です。

$\frac{(3 - t) \cdot 1 - t (\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [- t])}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

ステップ 2.4

$3$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(3 - t) \cdot 1 - t (0 + \frac{d}{d t} [- t])}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

ステップ 2.5

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- t$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [t]$ です。

$\frac{(3 - t) \cdot 1 - t (0 - \frac{d}{d t} [t])}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

ステップ 2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(3 - t) \cdot 1 - t (0 - 1 \cdot 1)}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

ステップ 2.7

$3 - t$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 - t - t (0 - 1 \cdot 1)}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

ステップ 2.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 - t - t (0 - 1)}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

ステップ 2.9

$0$ から $1$ を引きます。

$\frac{3 - t - t \cdot - 1}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

ステップ 2.10

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 - t + 1 t}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

ステップ 2.11

$t$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 - t + t}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

ステップ 2.12

$- t$ と $t$ をたし算します。

$\frac{3 + 0}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

ステップ 2.13

$3$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d t} [5 t^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$5$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $5 t^{3}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ です。

$\frac{3}{{(3 - t)}^{2}} + 5 \frac{d}{d t} [t^{3}]$

ステップ 3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3}{{(3 - t)}^{2}} + 5 (3 t^{2})$

ステップ 3.3

$3$ に $5$ をかけます。

$\frac{3}{{(3 - t)}^{2}} + 15 t^{2}$

ステップ 4

項を並べ替えます。

$15 t^{2} + \frac{3}{{(3 - t)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例