微分積分例

$f (x) = {(x^{2} + 6 x - 7)}^{2}$

ステップ 1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} + 6 x - 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 6 x - 7$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x - 7]$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x - 7]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 6 x - 7$ で置き換えます。

$2 (x^{2} + 6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x - 7]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x^{2} + 6 x - 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ です。

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (2 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

ステップ 2.3

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (2 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

ステップ 2.5

$6$ に $1$ をかけます。

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (2 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 7])$

ステップ 2.6

$- 7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 7$ の微分係数は $0$ です。

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (2 x + 6 + 0)$

ステップ 2.7

$2 x + 6$ と $0$ をたし算します。

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (2 x + 6)$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$(2 x^{2} + 2 (6 x) + 2 \cdot - 7) (2 x + 6)$

ステップ 3.2

項をまとめます。

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ステップ 3.2.1

$6$ に $2$ をかけます。

$(2 x^{2} + 12 x + 2 \cdot - 7) (2 x + 6)$

ステップ 3.2.2

$2$ に $- 7$ をかけます。

$(2 x^{2} + 12 x - 14) (2 x + 6)$

ステップ 3.3

$(2 x^{2} + 12 x - 14) (2 x + 6)$ の因数を並べ替えます。

$(2 x + 6) (2 x^{2} + 12 x - 14)$

ステップ 3.4

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(2 x + 6) (2 x^{2} + 12 x - 14)$ を展開します。

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

ステップ 3.5

各項を簡約します。

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ステップ 3.5.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 \cdot 2 x \cdot x^{2} + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

ステップ 3.5.2

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.5.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$2 \cdot 2 (x^{2} x) + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

ステップ 3.5.2.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 3.5.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 \cdot 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

ステップ 3.5.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \cdot 2 x^{2 + 1} + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

ステップ 3.5.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$2 \cdot 2 x^{3} + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

ステップ 3.5.3

$2$ に $2$ をかけます。

$4 x^{3} + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

ステップ 3.5.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 x^{3} + 2 \cdot 12 x \cdot x + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

ステップ 3.5.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.5.5.1

$x$ を移動させます。

$4 x^{3} + 2 \cdot 12 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

ステップ 3.5.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$4 x^{3} + 2 \cdot 12 x^{2} + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

ステップ 3.5.6

$2$ に $12$ をかけます。

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

ステップ 3.5.7

$- 14$ に $2$ をかけます。

$4 x^{3} + 24 x^{2} - 28 x + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

ステップ 3.5.8

$2$ に $6$ をかけます。

$4 x^{3} + 24 x^{2} - 28 x + 12 x^{2} + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

ステップ 3.5.9

$12$ に $6$ をかけます。

$4 x^{3} + 24 x^{2} - 28 x + 12 x^{2} + 72 x + 6 \cdot - 14$

ステップ 3.5.10

$6$ に $- 14$ をかけます。

$4 x^{3} + 24 x^{2} - 28 x + 12 x^{2} + 72 x - 84$

ステップ 3.6

$24 x^{2}$ と $12 x^{2}$ をたし算します。

$4 x^{3} + 36 x^{2} - 28 x + 72 x - 84$

ステップ 3.7

$- 28 x$ と $72 x$ をたし算します。

$4 x^{3} + 36 x^{2} + 44 x - 84$

微分積分 例

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