微分積分例

$f (x) = {(3 x^{4} - 8 x)}^{3} + \sqrt{x}$

ステップ 1

総和則では、 ${(3 x^{4} - 8 x)}^{3} + \sqrt{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [{(3 x^{4} - 8 x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [{(3 x^{4} - 8 x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [{(3 x^{4} - 8 x)}^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = 3 x^{4} - 8 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x^{4} - 8 x$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 8 x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

ステップ 2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 8 x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $3 x^{4} - 8 x$ で置き換えます。

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 8 x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

ステップ 2.2

総和則では、 $3 x^{4} - 8 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ です。

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

ステップ 2.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{4}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

ステップ 2.4

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 8 x]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

ステップ 2.5

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (3 (4 x^{3}) - 8 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

ステップ 2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (3 (4 x^{3}) - 8 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

ステップ 2.7

$4$ に $3$ をかけます。

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

ステップ 2.8

$- 8$ に $1$ をかけます。

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

ステップ 3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

ステップ 3.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

ステップ 3.5

公分母の分子をまとめます。

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

ステップ 3.6

分子を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

ステップ 3.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

ステップ 3.7

分数の前に負数を移動させます。

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

項をまとめます。

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ステップ 5.1.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.1.2

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.1.3

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8)$ と $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) (2 x^{\frac{1}{2}}) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.1.5

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{6 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.2

項を並べ替えます。

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}} {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例