微分積分例

$f (s) = (s^{2} + 1) e^{- s^{2}}$

ステップ 1

$f (s) = s^{2} + 1$ および $g (s) = e^{- s^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d s} [f (s) g (s)]$ は $f (s) \frac{d}{d s} [g (s)] + g (s) \frac{d}{d s} [f (s)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(s^{2} + 1) \frac{d}{d s} [e^{- s^{2}}] + e^{- s^{2}} \frac{d}{d s} [s^{2} + 1]$

ステップ 2

$f (s) = e^{s}$ および $g (s) = - s^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ は $f' (g (s)) g' (s)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- s^{2}$ とします。

$(s^{2} + 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d s} [- s^{2}]) + e^{- s^{2}} \frac{d}{d s} [s^{2} + 1]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$(s^{2} + 1) (e^{u} \frac{d}{d s} [- s^{2}]) + e^{- s^{2}} \frac{d}{d s} [s^{2} + 1]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $- s^{2}$ で置き換えます。

$(s^{2} + 1) (e^{- s^{2}} \frac{d}{d s} [- s^{2}]) + e^{- s^{2}} \frac{d}{d s} [s^{2} + 1]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$- 1$ は $s$ に対して定数なので、 $s$ に対する $- s^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d s} [s^{2}]$ です。

$(s^{2} + 1) e^{- s^{2}} (- \frac{d}{d s} [s^{2}]) + e^{- s^{2}} \frac{d}{d s} [s^{2} + 1]$

ステップ 3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ は $n s^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(s^{2} + 1) e^{- s^{2}} (- (2 s)) + e^{- s^{2}} \frac{d}{d s} [s^{2} + 1]$

ステップ 3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(s^{2} + 1) e^{- s^{2}} (- 2 s) + e^{- s^{2}} \frac{d}{d s} [s^{2} + 1]$

ステップ 3.4

総和則では、 $s^{2} + 1$ の $s$ に関する積分は $\frac{d}{d s} [s^{2}] + \frac{d}{d s} [1]$ です。

$(s^{2} + 1) e^{- s^{2}} (- 2 s) + e^{- s^{2}} (\frac{d}{d s} [s^{2}] + \frac{d}{d s} [1])$

ステップ 3.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ は $n s^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(s^{2} + 1) e^{- s^{2}} (- 2 s) + e^{- s^{2}} (2 s + \frac{d}{d s} [1])$

ステップ 3.6

$1$ は $s$ について定数なので、 $s$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$(s^{2} + 1) e^{- s^{2}} (- 2 s) + e^{- s^{2}} (2 s + 0)$

ステップ 3.7

$2 s$ と $0$ をたし算します。

$(s^{2} + 1) e^{- s^{2}} (- 2 s) + e^{- s^{2}} (2 s)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$(s^{2} e^{- s^{2}} + 1 e^{- s^{2}}) (- 2 s) + e^{- s^{2}} (2 s)$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$s^{2} e^{- s^{2}} (- 2 s) + 1 e^{- s^{2}} (- 2 s) + e^{- s^{2}} (2 s)$

ステップ 4.3

項をまとめます。

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ステップ 4.3.1

$s$ を $1$ 乗します。

$s^{1} s^{2} e^{- s^{2}} \cdot - 2 + 1 e^{- s^{2}} (- 2 s) + e^{- s^{2}} (2 s)$

ステップ 4.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$s^{1 + 2} e^{- s^{2}} \cdot - 2 + 1 e^{- s^{2}} (- 2 s) + e^{- s^{2}} (2 s)$

ステップ 4.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$s^{3} e^{- s^{2}} \cdot - 2 + 1 e^{- s^{2}} (- 2 s) + e^{- s^{2}} (2 s)$

ステップ 4.3.4

$- 2$ を $s^{3} e^{- s^{2}}$ の左に移動させます。

$- 2 \cdot (s^{3} e^{- s^{2}}) + 1 e^{- s^{2}} (- 2 s) + e^{- s^{2}} (2 s)$

ステップ 4.3.5

$e^{- s^{2}}$ に $1$ をかけます。

$- 2 s^{3} e^{- s^{2}} + e^{- s^{2}} (- 2 s) + e^{- s^{2}} (2 s)$

ステップ 4.3.6

$e^{- s^{2}}$ を移動させます。

$- 2 s^{3} e^{- s^{2}} - 2 s e^{- s^{2}} + 2 s e^{- s^{2}}$

ステップ 4.3.7

$- 2 s e^{- s^{2}}$ と $2 s e^{- s^{2}}$ をたし算します。

$- 2 s^{3} e^{- s^{2}} + 0$

ステップ 4.3.8

$- 2 s^{3} e^{- s^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$- 2 s^{3} e^{- s^{2}}$

ステップ 4.4

$- 2 s^{3} e^{- s^{2}}$ の因数を並べ替えます。

$- 2 e^{- s^{2}} s^{3}$

ステップ 4.5

$- 2 e^{- s^{2}} s^{3}$ の因数を並べ替えます。

$- 2 s^{3} e^{- s^{2}}$

微分積分 例

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