微分積分例

$f (x) = \frac{1}{\csc^{5} (x)}$

ステップ 1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.1

$\frac{1}{\csc^{5} (x)}$ を ${(\csc^{5} (x))}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(\csc^{5} (x))}^{- 1}]$

ステップ 1.2

${(\csc^{5} (x))}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d}{d x} [{\csc (x)}^{5 \cdot - 1}]$

ステップ 1.2.2

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [\csc^{- 5} (x)]$

ステップ 2

$f (x) = x^{- 5}$ および $g (x) = \csc (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\csc (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- 5}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

ステップ 2.2

$n = - 5$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 5 u^{- 6} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $\csc (x)$ で置き換えます。

$- 5 \csc^{- 6} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

ステップ 3

$x$ に関する $\csc (x)$ の微分係数は $- \csc (x) \cot (x)$ です。

$- 5 \csc^{- 6} (x) (- \csc (x) \cot (x))$

ステップ 4

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$5 \csc^{- 6} (x) (\csc (x) \cot (x))$

ステップ 5

$\csc (x)$ を $1$ 乗します。

$5 (\csc^{1} (x) \csc^{- 6} (x)) \cot (x)$

ステップ 6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$5 {\csc (x)}^{1 - 6} \cot (x)$

ステップ 7

$1$ から $6$ を引きます。

$5 \csc^{- 5} (x) \cot (x)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$5 \frac{1}{\csc^{5} (x)} \cot (x)$

ステップ 8.2

項をまとめます。

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ステップ 8.2.1

$5$ と $\frac{1}{\csc^{5} (x)}$ をまとめます。

$\frac{5}{\csc^{5} (x)} \cot (x)$

ステップ 8.2.2

$\frac{5}{\csc^{5} (x)}$ と $\cot (x)$ をまとめます。

$\frac{5 \cot (x)}{\csc^{5} (x)}$

ステップ 8.3

$\csc (x)$ を $\csc^{5} (x)$ で因数分解します。

$\frac{5 \cot (x)}{\csc (x) \csc^{4} (x)}$

ステップ 8.4

分数を分解します。

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} \cdot \frac{\cot (x)}{\csc (x)}$

ステップ 8.5

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} \cdot \frac{\cot (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$

ステップ 8.6

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} \cdot \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{\sin (x)}}$

ステップ 8.7

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\sin (x)}$ で割ります。

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x))$

ステップ 8.8

$\sin (x)$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{1})$

ステップ 8.9

$\sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.9.1

共通因数を約分します。

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{1})$

ステップ 8.9.2

式を書き換えます。

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} \cos (x)$

ステップ 8.10

$\frac{5}{\csc^{4} (x)}$ と $\cos (x)$ をまとめます。

$\frac{5 \cos (x)}{\csc^{4} (x)}$

ステップ 8.11

$\csc (x)$ を $\csc^{4} (x)$ で因数分解します。

$\frac{5 \cos (x)}{\csc (x) \csc^{3} (x)}$

ステップ 8.12

分数を分解します。

$\frac{5}{\csc^{3} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\csc (x)}$

ステップ 8.13

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$\frac{5}{\csc^{3} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$

ステップ 8.14

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\sin (x)}$ で割ります。

$\frac{5}{\csc^{3} (x)} (\cos (x) \sin (x))$

ステップ 8.15

$\frac{5}{\csc^{3} (x)} (\cos (x) \sin (x))$ を掛けます。

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ステップ 8.15.1

$\cos (x)$ と $\frac{5}{\csc^{3} (x)}$ をまとめます。

$\frac{\cos (x) \cdot 5}{\csc^{3} (x)} \sin (x)$

ステップ 8.15.2

$\frac{\cos (x) \cdot 5}{\csc^{3} (x)}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$\frac{\cos (x) \cdot 5 \sin (x)}{\csc^{3} (x)}$

ステップ 8.16

$\csc (x)$ を $\csc^{3} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\cos (x) \cdot 5 \sin (x)}{\csc (x) \csc^{2} (x)}$

ステップ 8.17

分数を分解します。

$\frac{5 \sin (x)}{\csc^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\csc (x)}$

ステップ 8.18

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$\frac{5 \sin (x)}{\csc^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$

ステップ 8.19

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\sin (x)}$ で割ります。

$\frac{5 \sin (x)}{\csc^{2} (x)} (\cos (x) \sin (x))$

ステップ 8.20

$\csc (x)$ を $\csc^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{5 \sin (x)}{\csc (x) \csc (x)} (\cos (x) \sin (x))$

ステップ 8.21

分数を分解します。

$\frac{5}{\csc (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\csc (x)} (\cos (x) \sin (x))$

ステップ 8.22

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$\frac{5}{\csc (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\frac{1}{\sin (x)}} (\cos (x) \sin (x))$

ステップ 8.23

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\sin (x)}$ で割ります。

$\frac{5}{\csc (x)} (\sin (x) \sin (x)) (\cos (x) \sin (x))$

ステップ 8.24

簡約します。

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ステップ 8.24.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{5}{\csc (x)} (\sin^{1} (x) \sin (x)) (\cos (x) \sin (x))$

ステップ 8.24.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{5}{\csc (x)} (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) (\cos (x) \sin (x))$

ステップ 8.24.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{5}{\csc (x)} {\sin (x)}^{1 + 1} (\cos (x) \sin (x))$

ステップ 8.24.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{5}{\csc (x)} \sin^{2} (x) (\cos (x) \sin (x))$

ステップ 8.25

指数を足して $\sin^{2} (x)$ に $\sin (x)$ を掛けます。

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ステップ 8.25.1

$\sin (x)$ を移動させます。

$\frac{5}{\csc (x)} (\sin (x) \sin^{2} (x)) \cos (x)$

ステップ 8.25.2

$\sin (x)$ に $\sin^{2} (x)$ をかけます。

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ステップ 8.25.2.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{5}{\csc (x)} (\sin^{1} (x) \sin^{2} (x)) \cos (x)$

ステップ 8.25.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{5}{\csc (x)} {\sin (x)}^{1 + 2} \cos (x)$

ステップ 8.25.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{5}{\csc (x)} \sin^{3} (x) \cos (x)$

ステップ 8.26

分数を分解します。

$\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\csc (x)} \sin^{3} (x) \cos (x)$

ステップ 8.27

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}} \sin^{3} (x) \cos (x)$

ステップ 8.28

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\sin (x)}$ で割ります。

$\frac{5}{1} (1 \sin (x)) \sin^{3} (x) \cos (x)$

ステップ 8.29

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{5}{1} \sin (x) \sin^{3} (x) \cos (x)$

ステップ 8.30

指数を足して $\sin (x)$ に $\sin^{3} (x)$ を掛けます。

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ステップ 8.30.1

$\sin^{3} (x)$ を移動させます。

$\frac{5}{1} (\sin^{3} (x) \sin (x)) \cos (x)$

ステップ 8.30.2

$\sin^{3} (x)$ に $\sin (x)$ をかけます。

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ステップ 8.30.2.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{5}{1} (\sin^{3} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x)$

ステップ 8.30.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{5}{1} {\sin (x)}^{3 + 1} \cos (x)$

ステップ 8.30.3

$3$ と $1$ をたし算します。

$\frac{5}{1} \sin^{4} (x) \cos (x)$

ステップ 8.31

$5$ を $1$ で割ります。

$5 \sin^{4} (x) \cos (x)$

微分積分 例

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