微分積分例

$f (x) = - \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

ステップ 2

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ を ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.2

${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3} \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.2.2

$\frac{1}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$- \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{3}}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{3}}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.3

$n = - \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$- (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$- (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$- (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 3}{3}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 7.2

$- 1$ から $3$ を引きます。

$- (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 4}{3}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 8

分数をまとめます。

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ステップ 8.1

分数の前に負数を移動させます。

$- (- \frac{1}{3} x^{- \frac{4}{3}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 8.2

$x^{- \frac{4}{3}}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$- - \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 8.3

式を簡約します。

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ステップ 8.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 8.3.2

$\frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 8.3.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{4}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 9

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

ステップ 10

式を簡約します。

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ステップ 10.1

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + 0$

ステップ 10.2

$\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

微分積分 例

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