微分積分例

$f (x) = \frac{x^{3}}{e^{3 x}}$

ステップ 1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = e^{3 x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{{(e^{3 x})}^{2}}$

ステップ 2

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.1

${(e^{3 x})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{3 x \cdot 2}}$

ステップ 2.1.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

ステップ 2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{e^{3 x} (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

ステップ 3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x$ とします。

$\frac{e^{3 x} (3 x^{2}) - x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{e^{3 x} (3 x^{2}) - x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$\frac{e^{3 x} (3 x^{2}) - x^{3} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{e^{3 x} (3 x^{2}) - x^{3} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))}{e^{6 x}}$

ステップ 4.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{e^{3 x} (3 x^{2}) - 3 x^{3} (e^{3 x} (\frac{d}{d x} [x]))}{e^{6 x}}$

ステップ 4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{e^{3 x} (3 x^{2}) - 3 x^{3} (e^{3 x} \cdot 1)}{e^{6 x}}$

ステップ 4.4

$e^{3 x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{3 x} (3 x^{2}) - 3 x^{3} e^{3 x}}{e^{6 x}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{3 e^{3 x} x^{2} - 3 x^{3} e^{3 x}}{e^{6 x}}$

ステップ 5.1.2

$3 e^{3 x} x^{2} - 3 x^{3} e^{3 x}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{3 x^{2} e^{3 x} - 3 x^{3} e^{3 x}}{e^{6 x}}$

ステップ 5.2

項を並べ替えます。

$\frac{3 e^{3 x} x^{2} - 3 e^{3 x} x^{3}}{e^{6 x}}$

ステップ 5.3

$3 e^{3 x} x^{2}$ を $3 e^{3 x} x^{2} - 3 e^{3 x} x^{3}$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.1

$3 e^{3 x} x^{2}$ を $3 e^{3 x} x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 e^{3 x} x^{2} (1) - 3 e^{3 x} x^{3}}{e^{6 x}}$

ステップ 5.3.2

$3 e^{3 x} x^{2}$ を $- 3 e^{3 x} x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{3 e^{3 x} x^{2} (1) + 3 e^{3 x} x^{2} (- x)}{e^{6 x}}$

ステップ 5.3.3

$3 e^{3 x} x^{2}$ を $3 e^{3 x} x^{2} (1) + 3 e^{3 x} x^{2} (- x)$ で因数分解します。

$\frac{3 e^{3 x} x^{2} (1 - x)}{e^{6 x}}$

ステップ 5.4

$e^{3 x}$ と $e^{6 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.1

$e^{6 x}$ を $3 e^{3 x} x^{2} (1 - x)$ で因数分解します。

$\frac{e^{6 x} (3 e^{- 3 x} x^{2} (1 - x))}{e^{6 x}}$

ステップ 5.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{e^{6 x} (3 e^{- 3 x} x^{2} (1 - x))}{e^{6 x} \cdot 1}$

ステップ 5.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{e^{6 x} (3 e^{- 3 x} x^{2} (1 - x))}{e^{6 x} \cdot 1}$

ステップ 5.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3 e^{- 3 x} x^{2} (1 - x)}{1}$

ステップ 5.4.2.4

$3 e^{- 3 x} x^{2} (1 - x)$ を $1$ で割ります。

$3 e^{- 3 x} x^{2} (1 - x)$

ステップ 5.5

分配則を当てはめます。

$3 e^{- 3 x} x^{2} \cdot 1 + 3 e^{- 3 x} x^{2} (- x)$

ステップ 5.6

$3$ に $1$ をかけます。

$3 e^{- 3 x} x^{2} + 3 e^{- 3 x} x^{2} (- x)$

ステップ 5.7

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 5.7.1

$x$ を移動させます。

$3 e^{- 3 x} x^{2} + 3 e^{- 3 x} (x \cdot x^{2}) \cdot - 1$

ステップ 5.7.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 5.7.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$3 e^{- 3 x} x^{2} + 3 e^{- 3 x} (x^{1} x^{2}) \cdot - 1$

ステップ 5.7.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 e^{- 3 x} x^{2} + 3 e^{- 3 x} x^{1 + 2} \cdot - 1$

ステップ 5.7.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$3 e^{- 3 x} x^{2} + 3 e^{- 3 x} x^{3} \cdot - 1$

ステップ 5.8

$- 1$ に $3$ をかけます。

$3 e^{- 3 x} x^{2} - 3 e^{- 3 x} x^{3}$

ステップ 5.9

$3 e^{- 3 x} x^{2} - 3 e^{- 3 x} x^{3}$ の因数を並べ替えます。

$3 x^{2} e^{- 3 x} - 3 x^{3} e^{- 3 x}$

微分積分 例

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