微分積分例

$f (x) = \frac{\sqrt{\ln (x)}}{x}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{\ln (x)}$ を ${\ln (x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{{\ln (x)}^{\frac{1}{2}}}{x}]$

ステップ 2

$f (x) = {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x \frac{d}{d x} [{\ln (x)}^{\frac{1}{2}}] - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\ln (x)$ とします。

$\frac{x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $\ln (x)$ で置き換えます。

$\frac{x (\frac{1}{2} {\ln (x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{x (\frac{1}{2} {\ln (x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{x (\frac{1}{2} {\ln (x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x (\frac{1}{2} {\ln (x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{x (\frac{1}{2} {\ln (x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{x (\frac{1}{2} {\ln (x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 8

分数をまとめます。

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ステップ 8.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{x (\frac{1}{2} {\ln (x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 8.2

$\frac{1}{2}$ と ${\ln (x)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{x (\frac{{\ln (x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${\ln (x)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{x (\frac{1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 8.4

$\frac{1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{\frac{x}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 9

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{\frac{x}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x} - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 10

項を簡約します。

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ステップ 10.1

$\frac{x}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\frac{\frac{x}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x} - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 10.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{x}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x} - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 10.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 11

$\frac{\frac{1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ に $\frac{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 12

まとめる。

$\frac{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

ステップ 13

分配則を当てはめます。

$\frac{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} (- {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

ステップ 14

$2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 14.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} (- {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

ステップ 14.2

式を書き換えます。

$\frac{1 + 2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} (- {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

ステップ 15

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1 - 2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} ({\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

ステップ 16

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1 - 2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

ステップ 17

式を簡約します。

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ステップ 17.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 - 2 {\ln (x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

ステップ 17.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1 - 2 {\ln (x)}^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

ステップ 18

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 18.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 - 2 {\ln (x)}^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

ステップ 18.2

式を書き換えます。

$\frac{1 - 2 \ln^{1} (x) \frac{d}{d x} [x]}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

ステップ 19

簡約します。

$\frac{1 - 2 \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

ステップ 20

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1 - 2 \ln (x) \cdot 1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

ステップ 21

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 2 \ln (x)}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

ステップ 22

簡約します。

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ステップ 22.1

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln (x)$ を簡約します。

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

ステップ 22.2

項を並べ替えます。

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{2 x^{2} {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例