微分積分例

$f (x) = {(9 - x^{2})}^{\frac{3}{5}}$

ステップ 1

$f (x) = x^{\frac{3}{5}}$ および $g (x) = 9 - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $9 - x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{5}}] \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

ステップ 1.2

$n = \frac{3}{5}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3}{5} u^{\frac{3}{5} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $9 - x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{3}{5} {(9 - x^{2})}^{\frac{3}{5} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

ステップ 2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$\frac{3}{5} {(9 - x^{2})}^{\frac{3}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

ステップ 3

$- 1$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$\frac{3}{5} {(9 - x^{2})}^{\frac{3}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

ステップ 4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3}{5} {(9 - x^{2})}^{\frac{3 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

ステップ 5

分子を簡約します。

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ステップ 5.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{3}{5} {(9 - x^{2})}^{\frac{3 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

ステップ 5.2

$3$ から $5$ を引きます。

$\frac{3}{5} {(9 - x^{2})}^{\frac{- 2}{5}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

ステップ 6

分数をまとめます。

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ステップ 6.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{3}{5} {(9 - x^{2})}^{- \frac{2}{5}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

ステップ 6.2

$\frac{3}{5}$ と ${(9 - x^{2})}^{- \frac{2}{5}}$ をまとめます。

$\frac{3 {(9 - x^{2})}^{- \frac{2}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

ステップ 6.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(9 - x^{2})}^{- \frac{2}{5}}$ を分母に移動させます。

$\frac{3}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

ステップ 7

総和則では、 $9 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{3}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 8

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{3}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 9

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$\frac{3}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 10

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{3}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 11

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} (- (2 x))$

ステップ 12

分数をまとめます。

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ステップ 12.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} (- 2 x)$

ステップ 12.2

$- 2$ と $\frac{3}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}}$ をまとめます。

$\frac{- 2 \cdot 3}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} x$

ステップ 12.3

$- 2$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 6}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} x$

ステップ 12.4

$\frac{- 6}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{- 6 x}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}}$

ステップ 12.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{6 x}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}}$

微分積分 例

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