微分積分例

$f (x) = {(4 x + 3)}^{2} \ln (4 x + 3)$

ステップ 1

${(4 x + 3)}^{2}$ を $(4 x + 3) (4 x + 3)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [(4 x + 3) (4 x + 3) \ln (4 x + 3)]$

ステップ 2

分配法則（FOIL法）を使って $(4 x + 3) (4 x + 3)$ を展開します。

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ステップ 2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [(4 x (4 x + 3) + 3 (4 x + 3)) \ln (4 x + 3)]$

ステップ 2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [(4 x (4 x) + 4 x \cdot 3 + 3 (4 x + 3)) \ln (4 x + 3)]$

ステップ 2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [(4 x (4 x) + 4 x \cdot 3 + 3 (4 x) + 3 \cdot 3) \ln (4 x + 3)]$

ステップ 3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d}{d x} [(4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot 3 + 3 (4 x) + 3 \cdot 3) \ln (4 x + 3)]$

ステップ 3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{d}{d x} [(4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot 3 + 3 (4 x) + 3 \cdot 3) \ln (4 x + 3)]$

ステップ 3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [(4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot 3 + 3 (4 x) + 3 \cdot 3) \ln (4 x + 3)]$

ステップ 3.1.3

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [(16 x^{2} + 4 x \cdot 3 + 3 (4 x) + 3 \cdot 3) \ln (4 x + 3)]$

ステップ 3.1.4

$3$ に $4$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [(16 x^{2} + 12 x + 3 (4 x) + 3 \cdot 3) \ln (4 x + 3)]$

ステップ 3.1.5

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [(16 x^{2} + 12 x + 12 x + 3 \cdot 3) \ln (4 x + 3)]$

ステップ 3.1.6

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [(16 x^{2} + 12 x + 12 x + 9) \ln (4 x + 3)]$

ステップ 3.2

$12 x$ と $12 x$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [(16 x^{2} + 24 x + 9) \ln (4 x + 3)]$

ステップ 4

$f (x) = 16 x^{2} + 24 x + 9$ および $g (x) = \ln (4 x + 3)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{d}{d x} [\ln (4 x + 3)] + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

ステップ 5

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 4 x + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x + 3$ とします。

$(16 x^{2} + 24 x + 9) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x + 3]) + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

ステップ 5.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$(16 x^{2} + 24 x + 9) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x + 3]) + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

ステップ 5.3

$u$ のすべての発生を $4 x + 3$ で置き換えます。

$(16 x^{2} + 24 x + 9) (\frac{1}{4 x + 3} \frac{d}{d x} [4 x + 3]) + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

ステップ 6

微分します。

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ステップ 6.1

総和則では、 $4 x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{1}{4 x + 3} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

ステップ 6.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{1}{4 x + 3} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

ステップ 6.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{1}{4 x + 3} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

ステップ 6.4

$4$ に $1$ をかけます。

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{1}{4 x + 3} (4 + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

ステップ 6.5

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{1}{4 x + 3} (4 + 0) + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

ステップ 6.6

分数をまとめます。

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ステップ 6.6.1

$4$ と $0$ をたし算します。

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{1}{4 x + 3} \cdot 4 + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

ステップ 6.6.2

$4$ と $\frac{1}{4 x + 3}$ をまとめます。

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

ステップ 6.7

総和則では、 $16 x^{2} + 24 x + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) (\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [9])$

ステップ 6.8

$16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $16 x^{2}$ の微分係数は $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) (16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [9])$

ステップ 6.9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) (16 (2 x) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [9])$

ステップ 6.10

$2$ に $16$ をかけます。

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) (32 x + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [9])$

ステップ 6.11

$24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $24 x$ の微分係数は $24 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) (32 x + 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

ステップ 6.12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) (32 x + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

ステップ 6.13

$24$ に $1$ をかけます。

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) (32 x + 24 + \frac{d}{d x} [9])$

ステップ 6.14

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) (32 x + 24 + 0)$

ステップ 6.15

$32 x + 24$ と $0$ をたし算します。

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) (32 x + 24)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

項を並べ替えます。

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

ステップ 7.2

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$16 x^{2} + 24 x + 9$ に $\frac{4}{4 x + 3}$ をかけます。

$\frac{(16 x^{2} + 24 x + 9) \cdot 4}{4 x + 3} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

ステップ 7.2.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 7.2.2.1

$16 x^{2}$ を ${(4 x)}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{({(4 x)}^{2} + 24 x + 9) \cdot 4}{4 x + 3} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

ステップ 7.2.2.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{({(4 x)}^{2} + 24 x + 3^{2}) \cdot 4}{4 x + 3} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

ステップ 7.2.2.3

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$24 x = 2 \cdot (4 x) \cdot 3$

ステップ 7.2.2.4

多項式を書き換えます。

$\frac{({(4 x)}^{2} + 2 \cdot (4 x) \cdot 3 + 3^{2}) \cdot 4}{4 x + 3} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

ステップ 7.2.2.5

$a = 4 x$ と $b = 3$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{{(4 x + 3)}^{2} \cdot 4}{4 x + 3} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

ステップ 7.2.3

${(4 x + 3)}^{2}$ と $4 x + 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.3.1

$4 x + 3$ を ${(4 x + 3)}^{2} \cdot 4$ で因数分解します。

$\frac{(4 x + 3) ((4 x + 3) \cdot 4)}{4 x + 3} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

ステップ 7.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.3.2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{(4 x + 3) ((4 x + 3) \cdot 4)}{(4 x + 3) \cdot 1} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

ステップ 7.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{(4 x + 3) ((4 x + 3) \cdot 4)}{(4 x + 3) \cdot 1} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

ステップ 7.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{(4 x + 3) \cdot 4}{1} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

ステップ 7.2.3.2.4

$(4 x + 3) \cdot 4$ を $1$ で割ります。

$(4 x + 3) \cdot 4 + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

ステップ 7.2.4

分配則を当てはめます。

$4 x \cdot 4 + 3 \cdot 4 + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

ステップ 7.2.5

$4$ に $4$ をかけます。

$16 x + 3 \cdot 4 + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

ステップ 7.2.6

$3$ に $4$ をかけます。

$16 x + 12 + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

ステップ 7.2.7

分配則を当てはめます。

$16 x + 12 + 32 x \ln (4 x + 3) + 24 \ln (4 x + 3)$

微分積分 例

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