微分積分例

$f (x) = \frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{\sqrt[3]{x^{4}}}$

ステップ 1

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{\sqrt[3]{x^{4}}}]$ を $\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{x \sqrt[3]{x}}]$ に書き換えます。

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ステップ 1.1

$x^{3}$ を因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{\sqrt[3]{x^{3} x}}]$

ステップ 1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{x \sqrt[3]{x}}]$

ステップ 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{x \cdot x^{\frac{1}{3}}}]$

ステップ 3

指数を足して $x$ に $x^{\frac{1}{3}}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

$x$ に $x^{\frac{1}{3}}$ をかけます。

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ステップ 3.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{x^{1} x^{\frac{1}{3}}}]$

ステップ 3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{x^{1 + \frac{1}{3}}}]$

ステップ 3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}]$

ステップ 3.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{x^{\frac{3 + 1}{3}}}]$

ステップ 3.4

$3$ と $1$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{x^{\frac{4}{3}}}]$

ステップ 4

$x^{2}$ を $6 x^{3} - 7 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 4.1

$x^{2}$ を $6 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (6 x) - 7 x^{2}}{x^{\frac{4}{3}}}]$

ステップ 4.2

$x^{2}$ を $- 7 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 7}{x^{\frac{4}{3}}}]$

ステップ 4.3

$x^{2}$ を $x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 7$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (6 x - 7)}{x^{\frac{4}{3}}}]$

ステップ 5

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $x^{\frac{4}{3}}$ を分子に移動させます。

$\frac{d}{d x} [x^{2} (6 x - 7) x^{- \frac{4}{3}}]$

ステップ 6

指数を足して $x^{2}$ に $x^{- \frac{4}{3}}$ を掛けます。

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ステップ 6.1

$x^{- \frac{4}{3}}$ を移動させます。

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{4}{3}} x^{2} (6 x - 7)]$

ステップ 6.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{4}{3} + 2} (6 x - 7)]$

ステップ 6.3

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{4}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}} (6 x - 7)]$

ステップ 6.4

$2$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{4}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}} (6 x - 7)]$

ステップ 6.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 4 + 2 \cdot 3}{3}} (6 x - 7)]$

ステップ 6.6

分子を簡約します。

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ステップ 6.6.1

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 4 + 6}{3}} (6 x - 7)]$

ステップ 6.6.2

$- 4$ と $6$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}} (6 x - 7)]$

ステップ 7

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ および $g (x) = 6 x - 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [6 x - 7] + (6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 8

微分します。

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ステップ 8.1

総和則では、 $6 x - 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ です。

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) + (6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 8.2

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{\frac{2}{3}} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) + (6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 8.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{\frac{2}{3}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) + (6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 8.4

$6$ に $1$ をかけます。

$x^{\frac{2}{3}} (6 + \frac{d}{d x} [- 7]) + (6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 8.5

$- 7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 7$ の微分係数は $0$ です。

$x^{\frac{2}{3}} (6 + 0) + (6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 8.6

式を簡約します。

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ステップ 8.6.1

$6$ と $0$ をたし算します。

$x^{\frac{2}{3}} \cdot 6 + (6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 8.6.2

$6$ を $x^{\frac{2}{3}}$ の左に移動させます。

$6 \cdot x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 8.7

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

ステップ 9

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

ステップ 10

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 11

公分母の分子をまとめます。

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 12

分子を簡約します。

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ステップ 12.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

ステップ 12.2

$2$ から $3$ を引きます。

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

ステップ 13

分数の前に負数を移動させます。

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

ステップ 14

$\frac{2}{3}$ と $x^{- \frac{1}{3}}$ をまとめます。

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 15

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{3}}$ を分母に移動させます。

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 16

簡約します。

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ステップ 16.1

分配則を当てはめます。

$6 x^{\frac{2}{3}} + 6 x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 16.2

項をまとめます。

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ステップ 16.2.1

$6$ と $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ をまとめます。

$6 x^{\frac{2}{3}} + x \frac{6 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 16.2.2

$6$ に $2$ をかけます。

$6 x^{\frac{2}{3}} + x \frac{12}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 16.2.3

$x$ と $\frac{12}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ をまとめます。

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{x \cdot 12}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 16.2.4

$12$ を $x$ の左に移動させます。

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{12 \cdot x}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 16.2.5

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $x^{\frac{1}{3}}$ を分子に移動させます。

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{12 x \cdot x^{- \frac{1}{3}}}{3} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 16.2.6

指数を足して $x$ に $x^{- \frac{1}{3}}$ を掛けます。

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ステップ 16.2.6.1

$x^{- \frac{1}{3}}$ を移動させます。

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{12 (x^{- \frac{1}{3}} x)}{3} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 16.2.6.2

$x^{- \frac{1}{3}}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 16.2.6.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{12 (x^{- \frac{1}{3}} x^{1})}{3} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 16.2.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{12 x^{- \frac{1}{3} + 1}}{3} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 16.2.6.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{12 x^{- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}}}{3} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 16.2.6.4

公分母の分子をまとめます。

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{12 x^{\frac{- 1 + 3}{3}}}{3} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 16.2.6.5

$- 1$ と $3$ をたし算します。

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{12 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 16.2.7

$3$ を $12 x^{\frac{2}{3}}$ で因数分解します。

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{3 (4 x^{\frac{2}{3}})}{3} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 16.2.8

共通因数を約分します。

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ステップ 16.2.8.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{3 (4 x^{\frac{2}{3}})}{3 (1)} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 16.2.8.2

共通因数を約分します。

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{3 (4 x^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 1} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 16.2.8.3

式を書き換えます。

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{1} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 16.2.8.4

$4 x^{\frac{2}{3}}$ を $1$ で割ります。

$6 x^{\frac{2}{3}} + 4 x^{\frac{2}{3}} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 16.2.9

$- 7$ と $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ をまとめます。

$6 x^{\frac{2}{3}} + 4 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 7 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 16.2.10

$- 7$ に $2$ をかけます。

$6 x^{\frac{2}{3}} + 4 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 16.2.11

分数の前に負数を移動させます。

$6 x^{\frac{2}{3}} + 4 x^{\frac{2}{3}} - \frac{14}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 16.2.12

$6 x^{\frac{2}{3}}$ と $4 x^{\frac{2}{3}}$ をたし算します。

$10 x^{\frac{2}{3}} - \frac{14}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

微分積分 例

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