微分積分例

$f (x) = \frac{1}{x \ln (x)}$

ステップ 1

$\frac{1}{x \ln (x)}$ を ${(x \ln (x))}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x \ln (x))}^{- 1}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x \ln (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

ステップ 2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x \ln (x)$ で置き換えます。

$- {(x \ln (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

ステップ 3

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- {(x \ln (x))}^{- 2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$- {(x \ln (x))}^{- 2} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 5.1

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$- {(x \ln (x))}^{- 2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

共通因数を約分します。

$- {(x \ln (x))}^{- 2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5.2.2

式を書き換えます。

$- {(x \ln (x))}^{- 2} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- {(x \ln (x))}^{- 2} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

ステップ 5.4

$\ln (x)$ に $1$ をかけます。

$- {(x \ln (x))}^{- 2} (1 + \ln (x))$

ステップ 6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{{(x \ln (x))}^{2}} (1 + \ln (x))$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

積の法則を $x \ln (x)$ に当てはめます。

$- \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} (1 + \ln (x))$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$- \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} \cdot 1 - \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} \ln (x)$

ステップ 7.3

項をまとめます。

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ステップ 7.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} - \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} \ln (x)$

ステップ 7.3.2

$\ln (x)$ と $\frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)}$ をまとめます。

$- \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} - \frac{\ln (x)}{x^{2} \ln^{2} (x)}$

ステップ 7.3.3

$\ln (x)$ と $\ln^{2} (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.3.1

$1$ を掛けます。

$- \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} - \frac{\ln (x) \cdot 1}{x^{2} \ln^{2} (x)}$

ステップ 7.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.3.2.1

$\ln (x)$ を $x^{2} \ln^{2} (x)$ で因数分解します。

$- \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} - \frac{\ln (x) \cdot 1}{\ln (x) (x^{2} \ln (x))}$

ステップ 7.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} - \frac{\ln (x) \cdot 1}{\ln (x) (x^{2} \ln (x))}$

ステップ 7.3.3.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} - \frac{1}{x^{2} \ln (x)}$

ステップ 7.4

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{x^{2} \ln (x)} - \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)}$

微分積分 例

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