微分積分例

$f (x) = \sqrt{3 p} \cdot \sqrt[3]{x^{4}}$

ステップ 1

$x^{3}$ を因数分解します。

$\frac{d}{d p} [\sqrt{3 p} \cdot \sqrt[3]{x^{3} x}]$

ステップ 2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{d}{d p} [\sqrt{3 p} \cdot (x \sqrt[3]{x})]$

ステップ 3

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d p} [\sqrt{3 p} \cdot (x \cdot x^{\frac{1}{3}})]$

ステップ 4

指数を足して $x$ に $x^{\frac{1}{3}}$ を掛けます。

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ステップ 4.1

$x$ に $x^{\frac{1}{3}}$ をかけます。

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ステップ 4.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d}{d p} [\sqrt{3 p} \cdot (x^{1} x^{\frac{1}{3}})]$

ステップ 4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d}{d p} [\sqrt{3 p} \cdot x^{1 + \frac{1}{3}}]$

ステップ 4.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{d}{d p} [\sqrt{3 p} \cdot x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}]$

ステップ 4.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d}{d p} [\sqrt{3 p} \cdot x^{\frac{3 + 1}{3}}]$

ステップ 4.4

$3$ と $1$ をたし算します。

$\frac{d}{d p} [\sqrt{3 p} \cdot x^{\frac{4}{3}}]$

ステップ 5

くくりだして簡約します。

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ステップ 5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3 p}$ を ${(3 p)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d p} [{(3 p)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}}]$

ステップ 5.2

$3$ を $3 p$ で因数分解します。

$\frac{d}{d p} [{(3 (p))}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}}]$

ステップ 5.3

積の法則を $3 (p)$ に当てはめます。

$\frac{d}{d p} [3^{\frac{1}{2}} p^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}}]$

ステップ 6

$3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}}$ は $p$ に対して定数なので、 $p$ に対する $3^{\frac{1}{2}} p^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}}$ の微分係数は $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d p} [p^{\frac{1}{2}}]$ です。

$3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d p} [p^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 7

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ は $n p^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}} (\frac{1}{2} p^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 8

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}} (\frac{1}{2} p^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 9

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}} (\frac{1}{2} p^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 10

公分母の分子をまとめます。

$3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}} (\frac{1}{2} p^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 11

分子を簡約します。

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ステップ 11.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}} (\frac{1}{2} p^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 11.2

$1$ から $2$ を引きます。

$3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}} (\frac{1}{2} p^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 12

分数の前に負数を移動させます。

$3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}} (\frac{1}{2} p^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 13

$\frac{1}{2}$ と $p^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}} \frac{p^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 14

$3^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{p^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$x^{\frac{4}{3}} \frac{3^{\frac{1}{2}} p^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 15

$x^{\frac{4}{3}}$ と $\frac{3^{\frac{1}{2}} p^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{\frac{4}{3}} (3^{\frac{1}{2}} p^{- \frac{1}{2}})}{2}$

ステップ 16

式を簡約します。

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ステップ 16.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $p^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{x^{\frac{4}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2 p^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 16.2

項を並べ替えます。

$\frac{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}}}{2 p^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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