微分積分例

$f (x) = \log_{8} (\frac{x^{2} - 5}{x - 10})$

ステップ 1

$f (x) = \log_{8} (x)$ および $g (x) = \frac{x^{2} - 5}{x - 10}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x^{2} - 5}{x - 10}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\log_{8} (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x - 10}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\log_{8} (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u \ln (8)}$ です。

$\frac{1}{u \ln (8)} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x - 10}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x^{2} - 5}{x - 10}$ で置き換えます。

$\frac{1}{\frac{x^{2} - 5}{x - 10} \ln (8)} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x - 10}]$

ステップ 2

$\frac{x^{2} - 5}{x - 10}$ と $\ln (8)$ をまとめます。

$\frac{1}{\frac{(x^{2} - 5) \ln (8)}{x - 10}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x - 10}]$

ステップ 3

分数の逆数を掛け、 $\frac{(x^{2} - 5) \ln (8)}{x - 10}$ で割ります。

$1 \frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x - 10}]$

ステップ 4

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x - 10}]$

ステップ 5

$f (x) = x^{2} - 5$ および $g (x) = x - 10$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{(x - 10) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5] - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 10]}{{(x - 10)}^{2}}$

ステップ 6

微分します。

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ステップ 6.1

総和則では、 $x^{2} - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{(x - 10) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 10]}{{(x - 10)}^{2}}$

ステップ 6.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{(x - 10) (2 x + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 10]}{{(x - 10)}^{2}}$

ステップ 6.3

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{(x - 10) (2 x + 0) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 10]}{{(x - 10)}^{2}}$

ステップ 6.4

式を簡約します。

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ステップ 6.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{(x - 10) (2 x) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 10]}{{(x - 10)}^{2}}$

ステップ 6.4.2

$2$ を $x - 10$ の左に移動させます。

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{2 \cdot (x - 10) x - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 10]}{{(x - 10)}^{2}}$

ステップ 6.5

総和則では、 $x - 10$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ です。

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{2 (x - 10) x - (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10])}{{(x - 10)}^{2}}$

ステップ 6.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{2 (x - 10) x - (x^{2} - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 10])}{{(x - 10)}^{2}}$

ステップ 6.7

$- 10$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 10$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{2 (x - 10) x - (x^{2} - 5) (1 + 0)}{{(x - 10)}^{2}}$

ステップ 6.8

分数をまとめます。

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ステップ 6.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{2 (x - 10) x - (x^{2} - 5) \cdot 1}{{(x - 10)}^{2}}$

ステップ 6.8.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{2 (x - 10) x - (x^{2} - 5)}{{(x - 10)}^{2}}$

ステップ 6.8.3

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)}$ に $\frac{2 (x - 10) x - (x^{2} - 5)}{{(x - 10)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{(x - 10) (2 (x - 10) x - (x^{2} - 5))}{(x^{2} - 5) \ln (8) {(x - 10)}^{2}}$

ステップ 7

共通因数を約分します。

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ステップ 7.1

$x - 10$ を $(x^{2} - 5) \ln (8) {(x - 10)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(x - 10) (2 (x - 10) x - (x^{2} - 5))}{(x - 10) ((x^{2} - 5) \ln (8) (x - 10))}$

ステップ 7.2

共通因数を約分します。

$\frac{(x - 10) (2 (x - 10) x - (x^{2} - 5))}{(x - 10) ((x^{2} - 5) \ln (8) (x - 10))}$

ステップ 7.3

式を書き換えます。

$\frac{2 (x - 10) x - (x^{2} - 5)}{(x^{2} - 5) \ln (8) (x - 10)}$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 10) x - (x^{2} - 5)}{(x^{2} - 5) \ln (8) (x - 10)}$

ステップ 8.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 10 x - (x^{2} - 5)}{(x^{2} - 5) \ln (8) (x - 10)}$

ステップ 8.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 10 x - x^{2} - - 5}{(x^{2} - 5) \ln (8) (x - 10)}$

ステップ 8.4

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 10 x - x^{2} - - 5}{(x^{2} \ln (8) - 5 \ln (8)) (x - 10)}$

ステップ 8.5

分子を簡約します。

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ステップ 8.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.5.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 8.5.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 10 x - x^{2} - - 5}{(x^{2} \ln (8) - 5 \ln (8)) (x - 10)}$

ステップ 8.5.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 10 x - x^{2} - - 5}{(x^{2} \ln (8) - 5 \ln (8)) (x - 10)}$

ステップ 8.5.1.2

$2$ に $- 10$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 20 x - x^{2} - - 5}{(x^{2} \ln (8) - 5 \ln (8)) (x - 10)}$

ステップ 8.5.1.3

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 20 x - x^{2} + 5}{(x^{2} \ln (8) - 5 \ln (8)) (x - 10)}$

ステップ 8.5.2

$2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{x^{2} - 20 x + 5}{(x^{2} \ln (8) - 5 \ln (8)) (x - 10)}$

ステップ 8.6

項を並べ替えます。

$\frac{x^{2} - 20 x + 5}{(x - 10) (x^{2} \ln (8) - 5 \ln (8))}$

微分積分 例

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