微分積分例

$f (x) = \log_{3} (x + \sqrt{x})$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\log_{3} (x + x^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 2

$f (x) = \log_{3} (x)$ および $g (x) = x + x^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + x^{\frac{1}{2}}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\log_{3} (u)] \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\log_{3} (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u \ln (3)}$ です。

$\frac{1}{u \ln (3)} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x + x^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x + x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 3.3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{x \ln (3) + x^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 11.2

$\frac{1}{x \ln (3) + x^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ の因数を並べ替えます。

$(1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x \ln (3) + x^{\frac{1}{2}} \ln (3)}$

ステップ 11.3

$x^{\frac{1}{2}} \ln (3)$ を $x \ln (3) + x^{\frac{1}{2}} \ln (3)$ で因数分解します。

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ステップ 11.3.1

$x^{\frac{1}{2}} \ln (3)$ を $x \ln (3)$ で因数分解します。

$(1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \ln (3)}$

ステップ 11.3.2

$x^{\frac{1}{2}} \ln (3)$ を $x^{\frac{1}{2}} \ln (3)$ で因数分解します。

$(1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (1)}$

ステップ 11.3.3

$x^{\frac{1}{2}} \ln (3)$ を $x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (1)$ で因数分解します。

$(1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$

ステップ 11.4

$1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$ をかけます。

$\frac{1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$

ステップ 11.5

分子を簡約します。

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ステップ 11.5.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$

ステップ 11.5.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$

ステップ 11.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$

ステップ 11.7

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$ を掛けます。

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ステップ 11.7.1

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$ をかけます。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

ステップ 11.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

ステップ 11.7.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

ステップ 11.7.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{2}{2}} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

ステップ 11.7.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.7.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{2}{2}} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

ステップ 11.7.5.2

式を書き換えます。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{1} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

ステップ 11.8

分母を簡約します。

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ステップ 11.8.1

書き換えます。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

ステップ 11.8.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

ステップ 11.8.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

ステップ 11.8.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{2}{2}} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

ステップ 11.8.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.8.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{2}{2}} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

ステップ 11.8.5.2

式を書き換えます。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{1} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

ステップ 11.8.6

不要な括弧を削除します。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{1} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$

ステップ 11.8.7

簡約します。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$

微分積分 例

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