微分積分例

$f (x) = \frac{\sin (x)}{2 - \cos (x)}$

ステップ 1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 - \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(2 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [2 - \cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [2 - \cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $2 - \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ です。

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 3.2

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ をたし算します。

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 3.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (- \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 3.5

掛け算します。

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ステップ 3.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) + 1 \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 3.5.2

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 4

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 5

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \cos (x) - \cos (x) \cos (x) - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 9.2

分子を簡約します。

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ステップ 9.2.1

$- \cos (x) \cos (x)$ を掛けます。

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ステップ 9.2.1.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x)) - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 9.2.1.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 9.2.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1} - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 9.2.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 \cos (x) - \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 9.2.2

$- 1$ を $- \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{2 \cos (x) - (\cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 9.2.3

$- 1$ を $- \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{2 \cos (x) - (\cos^{2} (x)) - (\sin^{2} (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 9.2.4

$- 1$ を $- (\cos^{2} (x)) - (\sin^{2} (x))$ で因数分解します。

$\frac{2 \cos (x) - (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 9.2.5

項を並べ替えます。

$\frac{2 \cos (x) - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 9.2.6

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{2 \cos (x) - 1 \cdot 1}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 9.2.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 \cos (x) - 1}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 9.3

項を並べ替えます。

$\frac{- 1 + 2 \cos (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 9.4

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (1) + 2 \cos (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 9.5

$- 1$ を $2 \cos (x)$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (1) - (- 2 \cos (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 9.6

$- 1$ を $- 1 (1) - (- 2 \cos (x))$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (1 - 2 \cos (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 9.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1 - 2 \cos (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

微分積分 例

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