微分積分例

$f (x) = \frac{\tan (x - 5)}{x - 1}$

ステップ 1

$f (x) = \tan (x - 5)$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [\tan (x - 5)] - \tan (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 2

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = x - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 5$ とします。

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x - 5]) - \tan (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\tan (u)$ の微分係数は $\sec^{2} (u)$ です。

$\frac{(x - 1) (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x - 5]) - \tan (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x - 5$ で置き換えます。

$\frac{(x - 1) (\sec^{2} (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 5]) - \tan (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$\frac{(x - 1) \sec^{2} (x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - \tan (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x - 1) \sec^{2} (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) - \tan (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.3

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x - 1) \sec^{2} (x - 5) (1 + 0) - \tan (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.4

式を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x - 1) \sec^{2} (x - 5) \cdot 1 - \tan (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.2

$x - 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x - 1) \sec^{2} (x - 5) - \tan (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.5

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{(x - 1) \sec^{2} (x - 5) - \tan (x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x - 1) \sec^{2} (x - 5) - \tan (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.7

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x - 1) \sec^{2} (x - 5) - \tan (x - 5) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.8

項を簡約します。

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ステップ 3.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x - 1) \sec^{2} (x - 5) - \tan (x - 5) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.8.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x - 1) \sec^{2} (x - 5) - \tan (x - 5)}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.8.3

各項を簡約します。

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ステップ 3.8.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x \sec^{2} (x - 5) - 1 \sec^{2} (x - 5) - \tan (x - 5)}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.8.3.2

$- 1 \sec^{2} (x - 5)$ を $- \sec^{2} (x - 5)$ に書き換えます。

$\frac{x \sec^{2} (x - 5) - \sec^{2} (x - 5) - \tan (x - 5)}{{(x - 1)}^{2}}$

微分積分 例

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