微分積分例

$f (x) = 2 x^{2} - 3 x - 1$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $2 x^{2} - 3 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.2.3

$2$ に $2$ をかけます。

$4 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.3.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$4 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.4.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$4 x - 3 + 0$

ステップ 1.4.2

$4 x - 3$ と $0$ をたし算します。

$4 x - 3$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $4 x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)$

ステップ 2.2.3

$4$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 4 + \frac{d}{d x} (- 3)$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 4 + 0$

ステップ 2.3.2

$4$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 4$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$4 x - 3 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1.1

総和則では、 $2 x^{2} - 3 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 4.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 4.1.2.3

$2$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = 4 x + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 4 x - 3 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 4.1.3.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 4 x - 3 + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 4.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1.4.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 4 x - 3 + 0$

ステップ 4.1.4.2

$4 x - 3$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 4 x - 3$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 x - 3$ です。

$4 x - 3$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x - 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x - 3 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$4 x = 3$

ステップ 5.3

$4 x = 3$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$4 x = 3$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

ステップ 5.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{3}{4}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = \frac{3}{4}$

ステップ 8

$x = \frac{3}{4}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$4$

ステップ 9

$x = \frac{3}{4}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{3}{4}$ は極小値です

ステップ 10

$x = \frac{3}{4}$ のときy値を求めます。

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ステップ 10.1

式の変数 $x$ を $\frac{3}{4}$ で置換えます。

$f (\frac{3}{4}) = 2 {(\frac{3}{4})}^{2} - 3 (\frac{3}{4}) - 1$

ステップ 10.2

結果を簡約します。

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ステップ 10.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 10.2.1.1

積の法則を $\frac{3}{4}$ に当てはめます。

$f (\frac{3}{4}) = 2 (\frac{3^{2}}{4^{2}}) - 3 (\frac{3}{4}) - 1$

ステップ 10.2.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{3}{4}) = 2 (\frac{9}{4^{2}}) - 3 (\frac{3}{4}) - 1$

ステップ 10.2.1.3

$4$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{3}{4}) = 2 (\frac{9}{16}) - 3 (\frac{3}{4}) - 1$

ステップ 10.2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.1.4.1

$2$ を $16$ で因数分解します。

$f (\frac{3}{4}) = 2 (\frac{9}{2 (8)}) - 3 (\frac{3}{4}) - 1$

ステップ 10.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{3}{4}) = 2 (\frac{9}{2 \cdot 8}) - 3 (\frac{3}{4}) - 1$

ステップ 10.2.1.4.3

式を書き換えます。

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - 3 (\frac{3}{4}) - 1$

ステップ 10.2.1.5

$- 3 (\frac{3}{4})$ を掛けます。

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ステップ 10.2.1.5.1

$- 3$ と $\frac{3}{4}$ をまとめます。

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{8} + \frac{- 3 \cdot 3}{4} - 1$

ステップ 10.2.1.5.2

$- 3$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{8} + \frac{- 9}{4} - 1$

ステップ 10.2.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9}{4} - 1$

ステップ 10.2.2

公分母を求めます。

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ステップ 10.2.2.1

$\frac{9}{4}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - (\frac{9}{4} \cdot \frac{2}{2}) - 1$

ステップ 10.2.2.2

$\frac{9}{4}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} - 1$

ステップ 10.2.2.3

$- 1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 1}{1}$

ステップ 10.2.2.4

$\frac{- 1}{1}$ に $\frac{8}{8}$ をかけます。

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{8}{8}$

ステップ 10.2.2.5

$\frac{- 1}{1}$ に $\frac{8}{8}$ をかけます。

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 1 \cdot 8}{8}$

ステップ 10.2.2.6

$4 \cdot 2$ の因数を並べ替えます。

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{- 1 \cdot 8}{8}$

ステップ 10.2.2.7

$2$ に $4$ をかけます。

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{8} + \frac{- 1 \cdot 8}{8}$

ステップ 10.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 - 1 \cdot 8}{8}$

ステップ 10.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 10.2.4.1

$- 9$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9 - 18 - 1 \cdot 8}{8}$

ステップ 10.2.4.2

$- 1$ に $8$ をかけます。

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9 - 18 - 8}{8}$

ステップ 10.2.5

式を簡約します。

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ステップ 10.2.5.1

$9$ から $18$ を引きます。

$f (\frac{3}{4}) = \frac{- 9 - 8}{8}$

ステップ 10.2.5.2

$- 9$ から $8$ を引きます。

$f (\frac{3}{4}) = \frac{- 17}{8}$

ステップ 10.2.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{3}{4}) = - \frac{17}{8}$

ステップ 10.2.6

最終的な答えは $- \frac{17}{8}$ です。

$y = - \frac{17}{8}$

ステップ 11

$f (x) = 2 x^{2} - 3 x - 1$ の極値です。

$(\frac{3}{4}, - \frac{17}{8})$ は極小値です

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例