微分積分例

$f (x) = e^{\frac{- 1}{x - 2}}$

ステップ 1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d}{d x} [e^{- \frac{1}{x - 2}}]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - \frac{1}{x - 2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $- \frac{1}{x - 2}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x - 2}]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x - 2}]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $- \frac{1}{x - 2}$ で置き換えます。

$e^{- \frac{1}{x - 2}} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x - 2}]$

ステップ 3

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{x - 2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{- \frac{1}{x - 2}} (- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}] + \frac{1}{x - 2} \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 4

$\frac{1}{x - 2}$ を ${(x - 2)}^{- 1}$ に書き換えます。

$e^{- \frac{1}{x - 2}} (- \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{- 1}] + \frac{1}{x - 2} \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 5

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x - 2$ とします。

$e^{- \frac{1}{x - 2}} (- (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{1}{x - 2} \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 5.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{- \frac{1}{x - 2}} (- (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{1}{x - 2} \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 5.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x - 2$ で置き換えます。

$e^{- \frac{1}{x - 2}} (- (- {(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{1}{x - 2} \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 6

微分します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- \frac{1}{x - 2}} (1 ({(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{1}{x - 2} \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 6.2

${(x - 2)}^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$e^{- \frac{1}{x - 2}} ({(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2] + \frac{1}{x - 2} \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 6.3

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$e^{- \frac{1}{x - 2}} ({(x - 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{1}{x - 2} \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 6.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{- \frac{1}{x - 2}} ({(x - 2)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{1}{x - 2} \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 6.5

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$e^{- \frac{1}{x - 2}} ({(x - 2)}^{- 2} (1 + 0) + \frac{1}{x - 2} \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 6.6

式を簡約します。

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ステップ 6.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$e^{- \frac{1}{x - 2}} ({(x - 2)}^{- 2} \cdot 1 + \frac{1}{x - 2} \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 6.6.2

${(x - 2)}^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$e^{- \frac{1}{x - 2}} ({(x - 2)}^{- 2} + \frac{1}{x - 2} \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 6.7

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$e^{- \frac{1}{x - 2}} ({(x - 2)}^{- 2} + \frac{1}{x - 2} \cdot 0)$

ステップ 6.8

式を簡約します。

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ステップ 6.8.1

$\frac{1}{x - 2}$ に $0$ をかけます。

$e^{- \frac{1}{x - 2}} ({(x - 2)}^{- 2} + 0)$

ステップ 6.8.2

${(x - 2)}^{- 2}$ と $0$ をたし算します。

$e^{- \frac{1}{x - 2}} {(x - 2)}^{- 2}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$e^{- \frac{1}{x - 2}} \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 7.2

$e^{- \frac{1}{x - 2}}$ と $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{e^{- \frac{1}{x - 2}}}{{(x - 2)}^{2}}$

微分積分 例

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