微分積分例

$f (x) = \frac{\cos (x)}{x^{4}}$

ステップ 1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = x^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

ステップ 2

${(x^{4})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

ステップ 2.2

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

ステップ 3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\frac{x^{4} (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

ステップ 4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 4.1

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{4} (- \sin (x)) - \cos (x) (4 x^{3})}{x^{8}}$

ステップ 4.2

くくりだして簡約します。

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ステップ 4.2.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{4} (- \sin (x)) - 4 \cos (x) x^{3}}{x^{8}}$

ステップ 4.2.2

$x^{3}$ を $x^{4} (- \sin (x)) - 4 \cos (x) x^{3}$ で因数分解します。

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ステップ 4.2.2.1

$x^{3}$ を $x^{4} (- \sin (x))$ で因数分解します。

$\frac{x^{3} (x (- \sin (x))) - 4 \cos (x) x^{3}}{x^{8}}$

ステップ 4.2.2.2

$x^{3}$ を $- 4 \cos (x) x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{x^{3} (x (- \sin (x))) + x^{3} (- 4 \cos (x))}{x^{8}}$

ステップ 4.2.2.3

$x^{3}$ を $x^{3} (x (- \sin (x))) + x^{3} (- 4 \cos (x))$ で因数分解します。

$\frac{x^{3} (x (- \sin (x)) - 4 \cos (x))}{x^{8}}$

ステップ 5

共通因数を約分します。

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ステップ 5.1

$x^{3}$ を $x^{8}$ で因数分解します。

$\frac{x^{3} (x (- \sin (x)) - 4 \cos (x))}{x^{3} x^{5}}$

ステップ 5.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{3} (x (- \sin (x)) - 4 \cos (x))}{x^{3} x^{5}}$

ステップ 5.3

式を書き換えます。

$\frac{x (- \sin (x)) - 4 \cos (x)}{x^{5}}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- x \sin (x) - 4 \cos (x)}{x^{5}}$

ステップ 6.2

$- 1$ を $- x \sin (x)$ で因数分解します。

$\frac{- (x \sin (x)) - 4 \cos (x)}{x^{5}}$

ステップ 6.3

$- 1$ を $- 4 \cos (x)$ で因数分解します。

$\frac{- (x \sin (x)) - (4 \cos (x))}{x^{5}}$

ステップ 6.4

$- 1$ を $- (x \sin (x)) - (4 \cos (x))$ で因数分解します。

$\frac{- (x \sin (x) + 4 \cos (x))}{x^{5}}$

ステップ 6.5

$- (x \sin (x) + 4 \cos (x))$ を $- 1 (x \sin (x) + 4 \cos (x))$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x \sin (x) + 4 \cos (x))}{x^{5}}$

ステップ 6.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x \sin (x) + 4 \cos (x)}{x^{5}}$

微分積分 例

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