微分積分例

$f (x) = \frac{72}{5} + \frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}$

ステップ 1

微分します。

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ステップ 1.1

総和則では、 $\frac{72}{5} + \frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{72}{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{72}{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}]$

ステップ 1.2

$\frac{72}{5}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $\frac{72}{5}$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{48}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}$ の微分係数は $\frac{48}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x + 1)}^{2}}]$ です。

$0 + \frac{48}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x + 1)}^{2}}]$

ステップ 2.2

$\frac{1}{{(3 x + 1)}^{2}}$ を ${({(3 x + 1)}^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$0 + \frac{48}{5} \frac{d}{d x} [{({(3 x + 1)}^{2})}^{- 1}]$

ステップ 2.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = {(3 x + 1)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を ${(3 x + 1)}^{2}$ とします。

$0 + \frac{48}{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(3 x + 1)}^{2}])$

ステップ 2.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + \frac{48}{5} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(3 x + 1)}^{2}])$

ステップ 2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を ${(3 x + 1)}^{2}$ で置き換えます。

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(3 x + 1)}^{2}])$

ステップ 2.4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = 3 x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $3 x + 1$ とします。

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [3 x + 1]))$

ステップ 2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [3 x + 1]))$

ステップ 2.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $3 x + 1$ で置き換えます。

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (2 (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x + 1]))$

ステップ 2.5

総和則では、 $3 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (2 (3 x + 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])))$

ステップ 2.6

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (2 (3 x + 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])))$

ステップ 2.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (2 (3 x + 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])))$

ステップ 2.8

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (2 (3 x + 1) (3 \cdot 1 + 0)))$

ステップ 2.9

${({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.9.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$0 + \frac{48}{5} (- {(3 x + 1)}^{2 \cdot - 2} (2 (3 x + 1) (3 \cdot 1 + 0)))$

ステップ 2.9.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$0 + \frac{48}{5} (- {(3 x + 1)}^{- 4} (2 (3 x + 1) (3 \cdot 1 + 0)))$

ステップ 2.10

$3$ に $1$ をかけます。

$0 + \frac{48}{5} (- {(3 x + 1)}^{- 4} (2 (3 x + 1) (3 + 0)))$

ステップ 2.11

$3$ と $0$ をたし算します。

$0 + \frac{48}{5} (- {(3 x + 1)}^{- 4} (2 (3 x + 1) \cdot 3))$

ステップ 2.12

$3$ に $2$ をかけます。

$0 + \frac{48}{5} (- {(3 x + 1)}^{- 4} (6 (3 x + 1)))$

ステップ 2.13

$6$ に $- 1$ をかけます。

$0 + \frac{48}{5} (- 6 {(3 x + 1)}^{- 4} (3 x + 1))$

ステップ 2.14

$3 x + 1$ を $1$ 乗します。

$0 + \frac{48}{5} (- 6 ({(3 x + 1)}^{1} {(3 x + 1)}^{- 4}))$

ステップ 2.15

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$0 + \frac{48}{5} (- 6 {(3 x + 1)}^{1 - 4})$

ステップ 2.16

$1$ から $4$ を引きます。

$0 + \frac{48}{5} (- 6 {(3 x + 1)}^{- 3})$

ステップ 2.17

$- 6$ と $\frac{48}{5}$ をまとめます。

$0 + \frac{- 6 \cdot 48}{5} {(3 x + 1)}^{- 3}$

ステップ 2.18

$- 6$ に $48$ をかけます。

$0 + \frac{- 288}{5} {(3 x + 1)}^{- 3}$

ステップ 2.19

$\frac{- 288}{5}$ と ${(3 x + 1)}^{- 3}$ をまとめます。

$0 + \frac{- 288 {(3 x + 1)}^{- 3}}{5}$

ステップ 2.20

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(3 x + 1)}^{- 3}$ を分母に移動させます。

$0 + \frac{- 288}{5 {(3 x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.21

分数の前に負数を移動させます。

$0 - \frac{288}{5 {(3 x + 1)}^{3}}$

ステップ 3

$0$ から $\frac{288}{5 {(3 x + 1)}^{3}}$ を引きます。

$- \frac{288}{5 {(3 x + 1)}^{3}}$

微分積分 例

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