微分積分例

$f (x) = \sqrt[7]{9 x^{3}}$

ステップ 1

くくりだして簡約します。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[7]{9 x^{3}}$ を ${(9 x^{3})}^{\frac{1}{7}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(9 x^{3})}^{\frac{1}{7}}]$

ステップ 1.2

$9$ を $9 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [{(9 (x^{3}))}^{\frac{1}{7}}]$

ステップ 1.3

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.3.1

積の法則を $9 (x^{3})$ に当てはめます。

$\frac{d}{d x} [9^{\frac{1}{7}} {(x^{3})}^{\frac{1}{7}}]$

ステップ 1.3.2

${(x^{3})}^{\frac{1}{7}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d}{d x} [9^{\frac{1}{7}} x^{3 (\frac{1}{7})}]$

ステップ 1.3.2.2

$3$ と $\frac{1}{7}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [9^{\frac{1}{7}} x^{\frac{3}{7}}]$

ステップ 2

$9^{\frac{1}{7}}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9^{\frac{1}{7}} x^{\frac{3}{7}}$ の微分係数は $9^{\frac{1}{7}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{7}}]$ です。

$9^{\frac{1}{7}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{7}}]$

ステップ 3

$n = \frac{3}{7}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$9^{\frac{1}{7}} (\frac{3}{7} x^{\frac{3}{7} - 1})$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{7}{7}$ を掛けます。

$9^{\frac{1}{7}} (\frac{3}{7} x^{\frac{3}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}})$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{7}{7}$ をまとめます。

$9^{\frac{1}{7}} (\frac{3}{7} x^{\frac{3}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}})$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$9^{\frac{1}{7}} (\frac{3}{7} x^{\frac{3 - 1 \cdot 7}{7}})$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $7$ をかけます。

$9^{\frac{1}{7}} (\frac{3}{7} x^{\frac{3 - 7}{7}})$

ステップ 7.2

$3$ から $7$ を引きます。

$9^{\frac{1}{7}} (\frac{3}{7} x^{\frac{- 4}{7}})$

ステップ 8

分数の前に負数を移動させます。

$9^{\frac{1}{7}} (\frac{3}{7} x^{- \frac{4}{7}})$

ステップ 9

$\frac{3}{7}$ と $x^{- \frac{4}{7}}$ をまとめます。

$9^{\frac{1}{7}} \frac{3 x^{- \frac{4}{7}}}{7}$

ステップ 10

$9^{\frac{1}{7}}$ と $\frac{3 x^{- \frac{4}{7}}}{7}$ をまとめます。

$\frac{9^{\frac{1}{7}} (3 x^{- \frac{4}{7}})}{7}$

ステップ 11

式を簡約します。

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ステップ 11.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{7}} x^{- \frac{4}{7}}}{7}$

ステップ 11.2

${(3^{2})}^{\frac{1}{7}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 11.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3 \cdot 3^{2 (\frac{1}{7})} x^{- \frac{4}{7}}}{7}$

ステップ 11.2.2

$2$ と $\frac{1}{7}$ をまとめます。

$\frac{3 \cdot 3^{\frac{2}{7}} x^{- \frac{4}{7}}}{7}$

ステップ 12

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3^{1 + \frac{2}{7}} x^{- \frac{4}{7}}}{7}$

ステップ 13

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{3^{\frac{7}{7} + \frac{2}{7}} x^{- \frac{4}{7}}}{7}$

ステップ 14

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3^{\frac{7 + 2}{7}} x^{- \frac{4}{7}}}{7}$

ステップ 15

$7$ と $2$ をたし算します。

$\frac{3^{\frac{9}{7}} x^{- \frac{4}{7}}}{7}$

ステップ 16

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{4}{7}}$ を分母に移動させます。

$\frac{3^{\frac{9}{7}}}{7 x^{\frac{4}{7}}}$

微分積分 例

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