微分積分例

$f (x) = \frac{x}{{(7 x - 6)}^{6}}$

ステップ 1

$f (x) = x$ および $g (x) = {(7 x - 6)}^{6}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{6}]}{{({(7 x - 6)}^{6})}^{2}}$

ステップ 2

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.1

${({(7 x - 6)}^{6})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{6}]}{{(7 x - 6)}^{6 \cdot 2}}$

ステップ 2.1.2

$6$ に $2$ をかけます。

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{6}]}{{(7 x - 6)}^{12}}$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{6}]}{{(7 x - 6)}^{12}}$

ステップ 2.3

${(7 x - 6)}^{6}$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{6}]}{{(7 x - 6)}^{12}}$

ステップ 3

$f (x) = x^{6}$ および $g (x) = 7 x - 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $7 x - 6$ とします。

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} - x (\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{12}}$

ステップ 3.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} - x (6 u^{5} \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{12}}$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $7 x - 6$ で置き換えます。

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} - x (6 {(7 x - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{12}}$

ステップ 4

くくりだして簡約します。

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ステップ 4.1

$6$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} - 6 x ({(7 x - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{12}}$

ステップ 4.2

${(7 x - 6)}^{5}$ を ${(7 x - 6)}^{6} - 6 x ({(7 x - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [7 x - 6])$ で因数分解します。

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ステップ 4.2.1

${(7 x - 6)}^{5}$ を ${(7 x - 6)}^{6}$ で因数分解します。

$\frac{{(7 x - 6)}^{5} (7 x - 6) - 6 x ({(7 x - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{12}}$

ステップ 4.2.2

${(7 x - 6)}^{5}$ を $- 6 x ({(7 x - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [7 x - 6])$ で因数分解します。

$\frac{{(7 x - 6)}^{5} (7 x - 6) + {(7 x - 6)}^{5} (- 6 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))}{{(7 x - 6)}^{12}}$

ステップ 4.2.3

${(7 x - 6)}^{5}$ を ${(7 x - 6)}^{5} (7 x - 6) + {(7 x - 6)}^{5} (- 6 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))$ で因数分解します。

$\frac{{(7 x - 6)}^{5} (7 x - 6 - 6 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))}{{(7 x - 6)}^{12}}$

ステップ 5

共通因数を約分します。

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ステップ 5.1

${(7 x - 6)}^{5}$ を ${(7 x - 6)}^{12}$ で因数分解します。

$\frac{{(7 x - 6)}^{5} (7 x - 6 - 6 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))}{{(7 x - 6)}^{5} {(7 x - 6)}^{7}}$

ステップ 5.2

共通因数を約分します。

$\frac{{(7 x - 6)}^{5} (7 x - 6 - 6 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))}{{(7 x - 6)}^{5} {(7 x - 6)}^{7}}$

ステップ 5.3

式を書き換えます。

$\frac{7 x - 6 - 6 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{7}}$

ステップ 6

総和則では、 $7 x - 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ です。

$\frac{7 x - 6 - 6 x (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(7 x - 6)}^{7}}$

ステップ 7

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{7 x - 6 - 6 x (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(7 x - 6)}^{7}}$

ステップ 8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{7 x - 6 - 6 x (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(7 x - 6)}^{7}}$

ステップ 9

$7$ に $1$ をかけます。

$\frac{7 x - 6 - 6 x (7 + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(7 x - 6)}^{7}}$

ステップ 10

$- 6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 6$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{7 x - 6 - 6 x (7 + 0)}{{(7 x - 6)}^{7}}$

ステップ 11

項を加えて簡約します。

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ステップ 11.1

$7$ と $0$ をたし算します。

$\frac{7 x - 6 - 6 x \cdot 7}{{(7 x - 6)}^{7}}$

ステップ 11.2

$7$ に $- 6$ をかけます。

$\frac{7 x - 6 - 42 x}{{(7 x - 6)}^{7}}$

ステップ 11.3

$7 x$ から $42 x$ を引きます。

$\frac{- 35 x - 6}{{(7 x - 6)}^{7}}$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

$- 1$ を $- 35 x$ で因数分解します。

$\frac{- (35 x) - 6}{{(7 x - 6)}^{7}}$

ステップ 12.2

$- 6$ を $- 1 (6)$ に書き換えます。

$\frac{- (35 x) - 1 (6)}{{(7 x - 6)}^{7}}$

ステップ 12.3

$- 1$ を $- (35 x) - 1 (6)$ で因数分解します。

$\frac{- (35 x + 6)}{{(7 x - 6)}^{7}}$

ステップ 12.4

$- (35 x + 6)$ を $- 1 (35 x + 6)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (35 x + 6)}{{(7 x - 6)}^{7}}$

ステップ 12.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{35 x + 6}{{(7 x - 6)}^{7}}$

微分積分 例

微分積分例