微分積分例

$f (x) = \frac{x}{x + \frac{c}{x}}$

ステップ 1

$f (x) = x$ および $g (x) = x + \frac{c}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x + \frac{c}{x}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

ステップ 2

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x + \frac{c}{x}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

ステップ 2.2

$x + \frac{c}{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x + \frac{c}{x} - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

ステップ 3

$\frac{x + \frac{c}{x} - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$\frac{x}{x} \cdot \frac{x + \frac{c}{x} - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

ステップ 4

まとめる。

$\frac{x (x + \frac{c}{x} - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

ステップ 5

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x + x \frac{c}{x} + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

ステップ 6

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \cdot x + x \frac{c}{x} + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

ステップ 6.2

式を書き換えます。

$\frac{x \cdot x + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

ステップ 7

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{1} x + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

ステップ 8

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{1} x^{1} + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

ステップ 9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{1 + 1} + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

ステップ 10

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

ステップ 11

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{2} + c - (x^{1} x) \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

ステップ 12

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{2} + c - (x^{1} x^{1}) \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

ステップ 13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{2} + c - x^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

ステップ 14

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + c - x^{2} \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

ステップ 15

総和則では、 $x + \frac{c}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x}]$ です。

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

ステップ 16

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

ステップ 17

$c$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{c}{x}$ の微分係数は $c \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + c \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

ステップ 18

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + c \frac{d}{d x} [x^{- 1}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

ステップ 19

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + c (- x^{- 2}))}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

ステップ 20

簡約します。

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ステップ 20.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + c (- \frac{1}{x^{2}}))}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

ステップ 20.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} + c - x^{2} \cdot 1 - x^{2} (c (- \frac{1}{x^{2}}))}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

ステップ 20.3

分子を簡約します。

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ステップ 20.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 20.3.1.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - x^{2} (c (- \frac{1}{x^{2}}))}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

ステップ 20.3.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - x^{2} (- c \frac{1}{x^{2}})}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

ステップ 20.3.1.3

$\frac{1}{x^{2}}$ と $c$ をまとめます。

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - x^{2} (- \frac{c}{x^{2}})}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

ステップ 20.3.1.4

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 20.3.1.4.1

$- \frac{c}{x^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - x^{2} \frac{- c}{x^{2}}}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

ステップ 20.3.1.4.2

$x^{2}$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} + c - x^{2} + x^{2} \cdot - 1 \frac{- c}{x^{2}}}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

ステップ 20.3.1.4.3

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} + c - x^{2} + x^{2} \cdot - 1 \frac{- c}{x^{2}}}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

ステップ 20.3.1.4.4

式を書き換えます。

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - - c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

ステップ 20.3.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} + c - x^{2} + 1 c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

ステップ 20.3.1.6

$c$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} + c - x^{2} + c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

ステップ 20.3.2

$x^{2} + c - x^{2} + c$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 20.3.2.1

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{c + 0 + c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

ステップ 20.3.2.2

$c$ と $0$ をたし算します。

$\frac{c + c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

ステップ 20.3.3

$c$ と $c$ をたし算します。

$\frac{2 c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

ステップ 20.4

分母を簡約します。

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ステップ 20.4.1

$x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{2 c}{x {(\frac{x \cdot x}{x} + \frac{c}{x})}^{2}}$

ステップ 20.4.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 c}{x {(\frac{x \cdot x + c}{x})}^{2}}$

ステップ 20.4.3

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 c}{x {(\frac{x^{2} + c}{x})}^{2}}$

ステップ 20.4.4

積の法則を $\frac{x^{2} + c}{x}$ に当てはめます。

$\frac{2 c}{x \frac{{(x^{2} + c)}^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 20.5

$x$ と $\frac{{(x^{2} + c)}^{2}}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{2 c}{\frac{x {(x^{2} + c)}^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 20.6

今日数因数で約分することで式 $\frac{x {(x^{2} + c)}^{2}}{x^{2}}$ を約分します。

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ステップ 20.6.1

$x$ を $x {(x^{2} + c)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 c}{\frac{x ({(x^{2} + c)}^{2})}{x^{2}}}$

ステップ 20.6.2

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 c}{\frac{x ({(x^{2} + c)}^{2})}{x \cdot x}}$

ステップ 20.6.3

共通因数を約分します。

$\frac{2 c}{\frac{x {(x^{2} + c)}^{2}}{x \cdot x}}$

ステップ 20.6.4

式を書き換えます。

$\frac{2 c}{\frac{{(x^{2} + c)}^{2}}{x}}$

ステップ 20.7

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 c \frac{x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$

ステップ 20.8

$2 c \frac{x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$ を掛けます。

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ステップ 20.8.1

$2$ と $\frac{x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$ をまとめます。

$c \frac{2 x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$

ステップ 20.8.2

$c$ と $\frac{2 x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{c (2 x)}{{(x^{2} + c)}^{2}}$

ステップ 20.9

$2$ を $c$ の左に移動させます。

$\frac{2 c x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例