微分積分例

$f (x) = x^{2} \cot (x) - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1

総和則では、 $x^{2} \cot (x) - \frac{1}{x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2} \cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2} \cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [x^{2} \cot (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \cot (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

ステップ 2.2

$x$ に関する $\cot (x)$ の微分係数は $- \csc^{2} (x)$ です。

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

ステップ 2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.2

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 3.6

${(x^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 3.6.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 3.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 3.8

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 3.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 3.10

$1$ から $4$ を引きます。

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 3.11

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 3.12

$\frac{1}{x^{2}}$ に $0$ をかけます。

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) + 2 x^{- 3} + 0$

ステップ 3.13

$2 x^{- 3}$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) + 2 x^{- 3}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) + 2 \frac{1}{x^{3}}$

ステップ 4.2

$2$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) + \frac{2}{x^{3}}$

ステップ 4.3

項を並べ替えます。

$- x^{2} \csc^{2} (x) + 2 x \cot (x) + \frac{2}{x^{3}}$

微分積分 例

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