微分積分例

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2$

ステップ 1

有理根検定を用いて $2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2$ を因数分解します。

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ステップ 1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

ステップ 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 2$

ステップ 1.3

$- 1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 1$ は多項式の根です。

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ステップ 1.3.1

$- 1$ を多項式に代入します。

$2 {(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 + 2$

ステップ 1.3.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$2 \cdot - 1 - 3 {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 + 2$

ステップ 1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 - 3 {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 + 2$

ステップ 1.3.4

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- 2 - 3 \cdot 1 - 3 \cdot - 1 + 2$

ステップ 1.3.5

$- 3$ に $1$ をかけます。

$- 2 - 3 - 3 \cdot - 1 + 2$

ステップ 1.3.6

$- 2$ から $3$ を引きます。

$- 5 - 3 \cdot - 1 + 2$

ステップ 1.3.7

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$- 5 + 3 + 2$

ステップ 1.3.8

$- 5$ と $3$ をたし算します。

$- 2 + 2$

ステップ 1.3.9

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$0$

ステップ 1.4

$- 1$ は既知の根なので、多項式を $x + 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2}{x + 1}$

ステップ 1.5

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2$ を $x + 1$ で割ります。

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ステップ 1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$2$

ステップ 1.5.2

被除数 $2 x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$

ステップ 1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			+	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

ステップ 1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $2 x^{3} + 2 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

ステップ 1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

ステップ 1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$

ステップ 1.5.7

被除数 $- 5 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$

ステップ 1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$5 x$

ステップ 1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 5 x^{2} - 5 x$ の符号をすべて変更します。

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$

ステップ 1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$2 x$

ステップ 1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$2 x$	+	$2$

ステップ 1.5.12

被除数 $2 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$2 x$	+	$2$

ステップ 1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

ステップ 1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $2 x + 2$ の符号をすべて変更します。

				$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

ステップ 1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$
										$0$

ステップ 1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$2 x^{2} - 5 x + 2$

ステップ 1.6

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2$ を因数の集合として書き換えます。

$(x + 1) (2 x^{2} - 5 x + 2)$

ステップ 2

群による因数分解。

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ステップ 2.1

群による因数分解。

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ステップ 2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ で和が $b = - 5$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.1.1.1

$- 5$ を $- 5 x$ で因数分解します。

$(x + 1) (2 x^{2} - 5 (x) + 2)$

ステップ 2.1.1.2

$- 5$ を $- 1$ プラス $- 4$ に書き換える

$(x + 1) (2 x^{2} + (- 1 - 4) x + 2)$

ステップ 2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$(x + 1) (2 x^{2} - 1 x - 4 x + 2)$

ステップ 2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x + 1) ((2 x^{2} - 1 x) - 4 x + 2)$

ステップ 2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(x + 1) (x (2 x - 1) - 2 (2 x - 1))$

ステップ 2.1.3

最大公約数 $2 x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x + 1) ((2 x - 1) (x - 2))$

ステップ 2.2

不要な括弧を削除します。

$(x + 1) (2 x - 1) (x - 2)$

微分積分 例

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