微分積分例

$f (x) = x + \frac{108}{x^{2}}$

ステップ 1

式 $x + \frac{108}{x^{2}}$ が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 2

$n$ が分子の次数、 $m$ が分母の次数である有理関数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ を考えます。

1. $n < m$ のとき、x軸 $y = 0$ は水平漸近線です。

2. $n = m$ のとき、水平漸近線は線 $y = \frac{a}{b}$ です。

3. $n > m$ のとき、水平漸近線はありません（斜めの漸近線があります）。

ステップ 3

$n$ と $m$ を求めます。

$n = 3$

$m = 2$

ステップ 4

$n > m$ なので、水平漸近線はありません。

水平漸近線がありません

ステップ 5

多項式の割り算を利用して斜めの漸近線を求めます。

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ステップ 5.1

まとめる。

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ステップ 5.1.1

$x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ を掛けます。

$\frac{x \cdot x^{2}}{x^{2}} + \frac{108}{x^{2}}$

ステップ 5.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x \cdot x^{2} + 108}{x^{2}}$

ステップ 5.1.3

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.1.3.1

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 5.1.3.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{1} x^{2} + 108}{x^{2}}$

ステップ 5.1.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{1 + 2} + 108}{x^{2}}$

$\frac{x^{1 + 2} + 108}{x^{2}}$

ステップ 5.1.3.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{x^{3} + 108}{x^{2}}$

$\frac{x^{3} + 108}{x^{2}}$

ステップ 5.1.4

簡約します。

$\frac{x^{3} + 108}{x^{2}}$

$\frac{x^{3} + 108}{x^{2}}$

ステップ 5.2

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$0$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$0 x$

+

$108$

ステップ 5.3

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x^{2}$ の最高次項で割ります。

$x$

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$0$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$0 x$

+

$108$

ステップ 5.4

新しい商の項に除数を掛けます。

$x$

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$0$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$0 x$

+

$108$

+

$x^{3}$

+

$0$

+

$0$

ステップ 5.5

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} + 0 + 0$ の符号をすべて変更します。

$x$

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$0$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$0 x$

+

$108$

-

$x^{3}$

-

$0$

-

$0$

ステップ 5.6

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

							$x$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$108$
						-	$x^{3}$	-	$0$	-	$0$
											$0$

ステップ 5.7

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

							$x$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$108$
						-	$x^{3}$	-	$0$	-	$0$
											$0$	+	$108$

ステップ 5.8

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$x + \frac{108}{x^{2}}$

ステップ 5.9

斜めの漸近線は、筆算での除算の結果の多項式部分です。

$y = x$

$y = x$

ステップ 6

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = 0$

水平漸近線がありません

斜めの漸近線： $y = x$

ステップ 7

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$