微分積分例

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 1

$t$ が $\infty$ に近づくときの、積分を極限として書きます。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{- 2} d x$

ステップ 3

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$lim_{t \to \infty} - x^{- 1}]_{1}^{t}$

ステップ 4

代入し簡約します。

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ステップ 4.1

$t$ および $1$ で $- x^{- 1}$ の値を求めます。

$lim_{t \to \infty} (- t^{- 1}) + 1^{- 1}$

ステップ 4.2

1のすべての数の累乗は1です。

$lim_{t \to \infty} - t^{- 1} + 1$

ステップ 5

極限を求めます。

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ステップ 5.1

$t$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- lim_{t \to \infty} t^{- 1} + lim_{t \to \infty} 1$

ステップ 5.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} + lim_{t \to \infty} 1$

ステップ 5.3

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{t}$ は $0$ に近づきます。

$- 0 + lim_{t \to \infty} 1$

ステップ 5.4

極限を求めます。

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ステップ 5.4.1

$t$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$0 + 1$

ステップ 5.4.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

微分積分 例

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