微分積分例

$2 (\sqrt{- 3 x + 5}) + 3$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 2 \sqrt{- 3 x + 5} d x + \int 3 d x$

ステップ 2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \sqrt{- 3 x + 5} d x + \int 3 d x$

ステップ 3

$u = - 3 x + 5$ とします。次に $d u = - 3 d x$ すると、 $- \frac{1}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u = - 3 x + 5$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$- 3 x + 5$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- 3 x + 5]$

ステップ 3.1.2

総和則では、 $- 3 x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 3.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 3.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 3.1.3.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$- 3 + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 3.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.1.4.1

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$- 3 + 0$

ステップ 3.1.4.2

$- 3$ と $0$ をたし算します。

$- 3$

ステップ 3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$2 \int \sqrt{u} \frac{1}{- 3} d u + \int 3 d x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分数の前に負数を移動させます。

$2 \int \sqrt{u} (- \frac{1}{3}) d u + \int 3 d x$

ステップ 4.2

$\sqrt{u}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$2 \int - \frac{\sqrt{u}}{3} d u + \int 3 d x$

ステップ 5

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$2 (- \int \frac{\sqrt{u}}{3} d u) + \int 3 d x$

ステップ 6

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \int \frac{\sqrt{u}}{3} d u + \int 3 d x$

ステップ 7

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$- 2 (\frac{1}{3} \int \sqrt{u} d u) + \int 3 d x$

ステップ 8

式を簡約します。

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ステップ 8.1

簡約します。

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ステップ 8.1.1

$\frac{1}{3}$ と $- 2$ をまとめます。

$\frac{- 2}{3} \int \sqrt{u} d u + \int 3 d x$

ステップ 8.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{3} \int \sqrt{u} d u + \int 3 d x$

ステップ 8.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{2}{3} \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int 3 d x$

ステップ 9

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$- \frac{2}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int 3 d x$

ステップ 10

定数の法則を当てはめます。

$- \frac{2}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + 3 x + C$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

簡約します。

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 3 x + C$

ステップ 11.2

簡約します。

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ステップ 11.2.1

$\frac{2}{3}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$- \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + 3 x + C$

ステップ 11.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{4}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + 3 x + C$

ステップ 11.2.3

$3$ に $3$ をかけます。

$- \frac{4}{9} u^{\frac{3}{2}} + 3 x + C$

ステップ 12

$u$ のすべての発生を $- 3 x + 5$ で置き換えます。

$- \frac{4}{9} {(- 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}} + 3 x + C$

微分積分 例

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