微分積分例

$x^{2} e^{x - 1}$

ステップ 1

$u = x^{2}$ と $d v = e^{x - 1}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x^{2} e^{x - 1} - \int e^{x - 1} (2 x) d x$

ステップ 2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$x^{2} e^{x - 1} - (2 \int e^{x - 1} (x) d x)$

ステップ 3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x^{2} e^{x - 1} - 2 \int e^{x - 1} (x) d x$

ステップ 4

$u = x$ と $d v = e^{x - 1}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x^{2} e^{x - 1} - 2 (x e^{x - 1} - \int e^{x - 1} d x)$

ステップ 5

$u = x - 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$u = x - 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 5.1.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 5.1.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 5.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$x^{2} e^{x - 1} - 2 (x e^{x - 1} - \int e^{u} d u)$

ステップ 6

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$x^{2} e^{x - 1} - 2 (x e^{x - 1} - (e^{u} + C))$

ステップ 7

$x^{2} e^{x - 1} - 2 (x e^{x - 1} - (e^{u} + C))$ を $x^{2} e^{x - 1} - 2 x e^{x - 1} + 2 e^{u} + C$ に書き換えます。

$x^{2} e^{x - 1} - 2 x e^{x - 1} + 2 e^{u} + C$

ステップ 8

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$x^{2} e^{x - 1} - 2 x e^{x - 1} + 2 e^{x - 1} + C$

微分積分 例