微分積分例

$(e^{- x} + 4 e^{2 x}) d x$

ステップ 1

括弧を削除します。

$\int e^{- x} + 4 e^{2 x} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int e^{- x} d x + \int 4 e^{2 x} d x$

ステップ 3

$u_{1} = - x$ とします。次に $d u_{1} = - d x$ すると、 $- d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$u_{1} = - x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$- x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 3.1.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 3.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 3.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int - e^{u_{1}} d u_{1} + \int 4 e^{2 x} d x$

ステップ 4

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 4 e^{2 x} d x$

ステップ 5

$e^{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $e^{u_{1}}$ です。

$- (e^{u_{1}} + C) + \int 4 e^{2 x} d x$

ステップ 6

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$- (e^{u_{1}} + C) + 4 \int e^{2 x} d x$

ステップ 7

$u_{2} = 2 x$ とします。次に $d u_{2} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$u_{2} = 2 x$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 7.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 7.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 7.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$- (e^{u_{1}} + C) + 4 \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 8

$e^{u_{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- (e^{u_{1}} + C) + 4 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- (e^{u_{1}} + C) + 4 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$- (e^{u_{1}} + C) + \frac{4}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 10.2

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$- (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot 2}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 10.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 10.2.2.2

共通因数を約分します。

$- (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 10.2.2.3

式を書き換えます。

$- (e^{u_{1}} + C) + \frac{2}{1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 10.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$- (e^{u_{1}} + C) + 2 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 11

$e^{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $e^{u_{2}}$ です。

$- (e^{u_{1}} + C) + 2 (e^{u_{2}} + C)$

ステップ 12

簡約します。

$- e^{u_{1}} + 2 e^{u_{2}} + C$

ステップ 13

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 13.1

$u_{1}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$- e^{- x} + 2 e^{u_{2}} + C$

ステップ 13.2

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$- e^{- x} + 2 e^{2 x} + C$

微分積分 例

微分積分例