微分積分例

$\frac{4}{\sqrt{x}} + e^{3 x} + \frac{2}{x}$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{4}{\sqrt{x}} d x + \int e^{3 x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

ステップ 2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int e^{3 x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

ステップ 3

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$4 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int e^{3 x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

ステップ 3.2

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$4 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int e^{3 x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

ステップ 3.3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int e^{3 x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

ステップ 3.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$4 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int e^{3 x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

ステップ 3.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$4 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int e^{3 x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

ステップ 4

べき乗則では、 $x^{- \frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $2 x^{\frac{1}{2}}$ です。

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int e^{3 x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

ステップ 5

$u = 3 x$ とします。次に $d u = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = 3 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 5.1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 5.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int e^{u} \frac{1}{3} d u + \int \frac{2}{x} d x$

ステップ 6

$e^{u}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int \frac{e^{u}}{3} d u + \int \frac{2}{x} d x$

ステップ 7

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{3} \int e^{u} d u + \int \frac{2}{x} d x$

ステップ 8

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{3} (e^{u} + C) + \int \frac{2}{x} d x$

ステップ 9

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{3} (e^{u} + C) + 2 \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 10

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{3} (e^{u} + C) + 2 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 11

簡約します。

$8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{e^{u}}{3} + 2 \ln (| x |) + C$

ステップ 12

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{e^{3 x}}{3} + 2 \ln (| x |) + C$

ステップ 13

項を並べ替えます。

$8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} e^{3 x} + 2 \ln (| x |) + C$

微分積分 例

微分積分例