微分積分例

${(e^{- 2 x} + 1)}^{3}$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

二項定理を利用します。

$\int {(e^{- 2 x})}^{3} + 3 {(e^{- 2 x})}^{2} \cdot 1 + 3 e^{- 2 x} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

ステップ 1.2

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.1

${(e^{- 2 x})}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int e^{- 2 x \cdot 3} + 3 {(e^{- 2 x})}^{2} \cdot 1 + 3 e^{- 2 x} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

ステップ 1.2.1.2

$3$ に $- 2$ をかけます。

$\int e^{- 6 x} + 3 {(e^{- 2 x})}^{2} \cdot 1 + 3 e^{- 2 x} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

ステップ 1.2.2

${(e^{- 2 x})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int e^{- 6 x} + 3 e^{- 2 x \cdot 2} \cdot 1 + 3 e^{- 2 x} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

ステップ 1.2.2.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\int e^{- 6 x} + 3 e^{- 4 x} \cdot 1 + 3 e^{- 2 x} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

ステップ 1.2.3

$3$ に $1$ をかけます。

$\int e^{- 6 x} + 3 e^{- 4 x} + 3 e^{- 2 x} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

ステップ 1.2.4

1のすべての数の累乗は1です。

$\int e^{- 6 x} + 3 e^{- 4 x} + 3 e^{- 2 x} \cdot 1 + 1^{3} d x$

ステップ 1.2.5

$3$ に $1$ をかけます。

$\int e^{- 6 x} + 3 e^{- 4 x} + 3 e^{- 2 x} + 1^{3} d x$

ステップ 1.2.6

1のすべての数の累乗は1です。

$\int e^{- 6 x} + 3 e^{- 4 x} + 3 e^{- 2 x} + 1 d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int e^{- 6 x} d x + \int 3 e^{- 4 x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

ステップ 3

$u_{1} = - 6 x$ とします。次に $d u_{1} = - 6 d x$ すると、 $- \frac{1}{6} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u_{1} = - 6 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$- 6 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$

ステップ 3.1.2

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 6 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 6 \cdot 1$

ステップ 3.1.4

$- 6$ に $1$ をかけます。

$- 6$

ステップ 3.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{- 6} d u_{1} + \int 3 e^{- 4 x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分数の前に負数を移動させます。

$\int e^{u_{1}} (- \frac{1}{6}) d u_{1} + \int 3 e^{- 4 x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

ステップ 4.2

$e^{u_{1}}$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$\int - \frac{e^{u_{1}}}{6} d u_{1} + \int 3 e^{- 4 x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

ステップ 5

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{e^{u_{1}}}{6} d u_{1} + \int 3 e^{- 4 x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

ステップ 6

$\frac{1}{6}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{6}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{6} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 3 e^{- 4 x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

ステップ 7

$e^{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $e^{u_{1}}$ です。

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + \int 3 e^{- 4 x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

ステップ 8

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + 3 \int e^{- 4 x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

ステップ 9

$u_{2} = - 4 x$ とします。次に $d u_{2} = - 4 d x$ すると、 $- \frac{1}{4} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 9.1

$u_{2} = - 4 x$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 9.1.1

$- 4 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 9.1.2

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 9.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 \cdot 1$

ステップ 9.1.4

$- 4$ に $1$ をかけます。

$- 4$

ステップ 9.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + 3 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 4} d u_{2} + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + 3 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{4}) d u_{2} + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

ステップ 10.2

$e^{u_{2}}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + 3 \int - \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2} + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

ステップ 11

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + 3 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}) + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

ステップ 12

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - 3 \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2} + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

ステップ 13

$\frac{1}{4}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - 3 (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}) + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

$\frac{1}{4}$ と $- 3$ をまとめます。

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + \frac{- 3}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

ステップ 14.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

ステップ 15

$e^{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $e^{u_{2}}$ です。

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

ステップ 16

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) + 3 \int e^{- 2 x} d x + \int d x$

ステップ 17

$u_{3} = - 2 x$ とします。次に $d u_{3} = - 2 d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u_{3} = d x$ です。 $u_{3}$ と $d$ $u_{3}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 17.1

$u_{3} = - 2 x$ とします。 $\frac{d u_{3}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.1

$- 2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 17.1.2

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 17.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \cdot 1$

ステップ 17.1.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2$

ステップ 17.2

$u_{3}$ と $d u_{3}$ を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) + 3 \int e^{u_{3}} \frac{1}{- 2} d u_{3} + \int d x$

ステップ 18

簡約します。

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ステップ 18.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) + 3 \int e^{u_{3}} (- \frac{1}{2}) d u_{3} + \int d x$

ステップ 18.2

$e^{u_{3}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) + 3 \int - \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3} + \int d x$

ステップ 19

$- 1$ は $u_{3}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) + 3 (- \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}) + \int d x$

ステップ 20

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) - 3 \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3} + \int d x$

ステップ 21

$\frac{1}{2}$ は $u_{3}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) - 3 (\frac{1}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3}) + \int d x$

ステップ 22

簡約します。

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ステップ 22.1

$\frac{1}{2}$ と $- 3$ をまとめます。

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) + \frac{- 3}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3} + \int d x$

ステップ 22.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) - \frac{3}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3} + \int d x$

ステップ 23

$e^{u_{3}}$ の $u_{3}$ に関する積分は $e^{u_{3}}$ です。

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) - \frac{3}{2} (e^{u_{3}} + C) + \int d x$

ステップ 24

定数の法則を当てはめます。

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) - \frac{3}{2} (e^{u_{3}} + C) + x + C$

ステップ 25

簡約します。

$- \frac{1}{6} e^{u_{1}} - \frac{3}{4} e^{u_{2}} - \frac{3}{2} e^{u_{3}} + x + C$

ステップ 26

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 26.1

$u_{1}$ のすべての発生を $- 6 x$ で置き換えます。

$- \frac{1}{6} e^{- 6 x} - \frac{3}{4} e^{u_{2}} - \frac{3}{2} e^{u_{3}} + x + C$

ステップ 26.2

$u_{2}$ のすべての発生を $- 4 x$ で置き換えます。

$- \frac{1}{6} e^{- 6 x} - \frac{3}{4} e^{- 4 x} - \frac{3}{2} e^{u_{3}} + x + C$

ステップ 26.3

$u_{3}$ のすべての発生を $- 2 x$ で置き換えます。

$- \frac{1}{6} e^{- 6 x} - \frac{3}{4} e^{- 4 x} - \frac{3}{2} e^{- 2 x} + x + C$

微分積分 例

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