微分積分例

$| 3 - \frac{1}{x} | < \frac{1}{2}$

ステップ 1

$| 3 - \frac{1}{x} | < \frac{1}{2}$ を区分で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

1番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負でない場所を求めます。

$3 - \frac{1}{x} \geq 0$

ステップ 1.2

不等式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

不等式の両辺から $3$ を引きます。

$- \frac{1}{x} \geq - 3$

ステップ 1.2.2

両辺に $x$ を掛けます。

$- \frac{1}{x} x = - 3 x$

ステップ 1.2.3

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1.1

$- \frac{1}{x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{x} x = - 3 x$

ステップ 1.2.3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{x} x = - 3 x$

ステップ 1.2.3.1.3

式を書き換えます。

$- 1 = - 3 x$

ステップ 1.2.4

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

方程式を $- 3 x = - 1$ として書き換えます。

$- 3 x = - 1$

ステップ 1.2.4.2

$- 3 x = - 1$ の各項を $- 3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1

$- 3 x = - 1$ の各項を $- 3$ で割ります。

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

ステップ 1.2.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.2.1

$- 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

ステップ 1.2.4.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{- 3}$

ステップ 1.2.4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x = \frac{1}{3}$

ステップ 1.2.5

$\frac{2 | 3 - \frac{1}{x} | - 1}{2}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

$\frac{1}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 1.2.5.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 1.2.6

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{3}$

$x > \frac{1}{3}$

ステップ 1.2.7

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 1.2.7.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$3 - \frac{1}{- 2} \geq 0$

ステップ 1.2.7.1.3

左辺 $3.5$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 1.2.7.2

区間 $0 < x < \frac{1}{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.2.1

区間 $0 < x < \frac{1}{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0.17$

ステップ 1.2.7.2.2

$x$ を元の不等式の $0.17$ で置き換えます。

$3 - \frac{1}{0.17} \geq 0$

ステップ 1.2.7.2.3

左辺 $- 2.88235294$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 1.2.7.3

区間 $x > \frac{1}{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.3.1

区間 $x > \frac{1}{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 1.2.7.3.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$3 - \frac{1}{3} \geq 0$

ステップ 1.2.7.3.3

左辺 $2.\overline{6}$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 1.2.7.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 真

$0 < x < \frac{1}{3}$ 偽

$x > \frac{1}{3}$ 真

$x < 0$ 真

$0 < x < \frac{1}{3}$ 偽

$x > \frac{1}{3}$ 真

ステップ 1.2.8

解はすべての真の区間からなります。

$x < 0$ または $x \geq \frac{1}{3}$

ステップ 1.3

$3 - \frac{1}{x}$ が負でない区分では、絶対値を削除します。

$3 - \frac{1}{x} < \frac{1}{2}$

ステップ 1.4

$3 - \frac{1}{x} < \frac{1}{2}$ の定義域を求め、 $x < 0 or x \geq \frac{1}{3}$ との交点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$3 - \frac{1}{x} < \frac{1}{2}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$\frac{1}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 1.4.1.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 1.4.2

$x < 0 or x \geq \frac{1}{3}$ と $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ の交点を求めます。

$x < 0 or x \geq \frac{1}{3}$

ステップ 1.5

2番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負になる場所を求めます。

$3 - \frac{1}{x} < 0$

ステップ 1.6

不等式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

不等式の両辺から $3$ を引きます。

$- \frac{1}{x} < - 3$

ステップ 1.6.2

両辺に $x$ を掛けます。

$- \frac{1}{x} x = - 3 x$

ステップ 1.6.3

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.3.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.3.1.1

$- \frac{1}{x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{x} x = - 3 x$

ステップ 1.6.3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{x} x = - 3 x$

ステップ 1.6.3.1.3

式を書き換えます。

$- 1 = - 3 x$

ステップ 1.6.4

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.4.1

方程式を $- 3 x = - 1$ として書き換えます。

$- 3 x = - 1$

ステップ 1.6.4.2

$- 3 x = - 1$ の各項を $- 3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.4.2.1

$- 3 x = - 1$ の各項を $- 3$ で割ります。

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

ステップ 1.6.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.4.2.2.1

$- 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

ステップ 1.6.4.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{- 3}$

ステップ 1.6.4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.4.2.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x = \frac{1}{3}$

ステップ 1.6.5

$\frac{2 | 3 - \frac{1}{x} | - 1}{2}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.5.1

$\frac{1}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 1.6.5.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 1.6.6

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{3}$

$x > \frac{1}{3}$

ステップ 1.6.7

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.7.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.7.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 1.6.7.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$3 - \frac{1}{- 2} < 0$

ステップ 1.6.7.1.3

左辺 $3.5$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 1.6.7.2

区間 $0 < x < \frac{1}{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.7.2.1

区間 $0 < x < \frac{1}{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0.17$

ステップ 1.6.7.2.2

$x$ を元の不等式の $0.17$ で置き換えます。

$3 - \frac{1}{0.17} < 0$

ステップ 1.6.7.2.3

左辺 $- 2.88235294$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 1.6.7.3

区間 $x > \frac{1}{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.7.3.1

区間 $x > \frac{1}{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 1.6.7.3.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$3 - \frac{1}{3} < 0$

ステップ 1.6.7.3.3

左辺 $2.\overline{6}$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 1.6.7.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 偽

$0 < x < \frac{1}{3}$ 真

$x > \frac{1}{3}$ 偽

$x < 0$ 偽

$0 < x < \frac{1}{3}$ 真

$x > \frac{1}{3}$ 偽

ステップ 1.6.8

解はすべての真の区間からなります。

$0 < x < \frac{1}{3}$

ステップ 1.7

$3 - \frac{1}{x}$ が負である区分では、絶対値を取り除き $- 1$ を掛けます。

$- (3 - \frac{1}{x}) < \frac{1}{2}$

ステップ 1.8

$- (3 - \frac{1}{x}) < \frac{1}{2}$ の定義域を求め、 $0 < x < \frac{1}{3}$ との交点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1

$- (3 - \frac{1}{x}) < \frac{1}{2}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1.1

$\frac{1}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 1.8.1.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 1.8.2

$0 < x < \frac{1}{3}$ と $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ の交点を求めます。

$0 < x < \frac{1}{3}$

ステップ 1.9

区分で書きます。

${\begin{cases} 3 - \frac{1}{x} < \frac{1}{2} & x < 0 or x \geq \frac{1}{3} \\ - (3 - \frac{1}{x}) < \frac{1}{2} & 0 < x < \frac{1}{3} \end{cases}$

ステップ 1.10

$- (3 - \frac{1}{x}) < \frac{1}{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.10.1

分配則を当てはめます。

${\begin{cases} 3 - \frac{1}{x} < \frac{1}{2} & x < 0 or x \geq \frac{1}{3} \\ - 1 \cdot 3 - - \frac{1}{x} < \frac{1}{2} & 0 < x < \frac{1}{3} \end{cases}$

ステップ 1.10.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

${\begin{cases} 3 - \frac{1}{x} < \frac{1}{2} & x < 0 or x \geq \frac{1}{3} \\ - 3 - - \frac{1}{x} < \frac{1}{2} & 0 < x < \frac{1}{3} \end{cases}$

ステップ 1.10.3

$- - \frac{1}{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.10.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

${\begin{cases} 3 - \frac{1}{x} < \frac{1}{2} & x < 0 or x \geq \frac{1}{3} \\ - 3 + 1 \frac{1}{x} < \frac{1}{2} & 0 < x < \frac{1}{3} \end{cases}$

ステップ 1.10.3.2

$\frac{1}{x}$ に $1$ をかけます。

${\begin{cases} 3 - \frac{1}{x} < \frac{1}{2} & x < 0 or x \geq \frac{1}{3} \\ - 3 + \frac{1}{x} < \frac{1}{2} & 0 < x < \frac{1}{3} \end{cases}$

ステップ 2

$x < 0 or x \geq \frac{1}{3}$ のとき、 $3 - \frac{1}{x} < \frac{1}{2}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ について $3 - \frac{1}{x} < \frac{1}{2}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$x$ を含まないすべての項を不等式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

不等式の両辺から $3$ を引きます。

$- \frac{1}{x} < \frac{1}{2} - 3$

ステップ 2.1.1.2

$- 3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{1}{x} < \frac{1}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 2.1.1.3

$- 3$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- \frac{1}{x} < \frac{1}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

ステップ 2.1.1.4

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{x} < \frac{1 - 3 \cdot 2}{2}$

ステップ 2.1.1.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.5.1

$- 3$ に $2$ をかけます。

$- \frac{1}{x} < \frac{1 - 6}{2}$

ステップ 2.1.1.5.2

$1$ から $6$ を引きます。

$- \frac{1}{x} < \frac{- 5}{2}$

ステップ 2.1.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{x} < - \frac{5}{2}$

ステップ 2.1.2

両辺に $x$ を掛けます。

$- \frac{1}{x} x = - \frac{5}{2} x$

ステップ 2.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1.1.1

$- \frac{1}{x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{x} x = - \frac{5}{2} x$

ステップ 2.1.3.1.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{x} x = - \frac{5}{2} x$

ステップ 2.1.3.1.1.3

式を書き換えます。

$- 1 = - \frac{5}{2} x$

ステップ 2.1.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.2.1

$- \frac{5}{2} x$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.2.1.1

$x$ と $\frac{5}{2}$ をまとめます。

$- 1 = - \frac{x \cdot 5}{2}$

ステップ 2.1.3.2.1.2

$5$ を $x$ の左に移動させます。

$- 1 = - \frac{5 x}{2}$

ステップ 2.1.4

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.1

方程式を $- \frac{5 x}{2} = - 1$ として書き換えます。

$- \frac{5 x}{2} = - 1$

ステップ 2.1.4.2

方程式の両辺に $- \frac{2}{5}$ を掛けます。

$- \frac{2}{5} (- \frac{5 x}{2}) = - \frac{2}{5} \cdot - 1$

ステップ 2.1.4.3

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.3.1.1

$- \frac{2}{5} (- \frac{5 x}{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.3.1.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.3.1.1.1.1

$- \frac{2}{5}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 2}{5} (- \frac{5 x}{2}) = - \frac{2}{5} \cdot - 1$

ステップ 2.1.4.3.1.1.1.2

$- \frac{5 x}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 2}{5} \cdot \frac{- 5 x}{2} = - \frac{2}{5} \cdot - 1$

ステップ 2.1.4.3.1.1.1.3

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 1)}{5} \cdot \frac{- 5 x}{2} = - \frac{2}{5} \cdot - 1$

ステップ 2.1.4.3.1.1.1.4

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{- 5 x}{2} = - \frac{2}{5} \cdot - 1$

ステップ 2.1.4.3.1.1.1.5

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{5} (- 5 x) = - \frac{2}{5} \cdot - 1$

ステップ 2.1.4.3.1.1.2

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.3.1.1.2.1

$5$ を $- 5 x$ で因数分解します。

$\frac{- 1}{5} (5 (- x)) = - \frac{2}{5} \cdot - 1$

ステップ 2.1.4.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{5} (5 (- x)) = - \frac{2}{5} \cdot - 1$

ステップ 2.1.4.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$- - x = - \frac{2}{5} \cdot - 1$

ステップ 2.1.4.3.1.1.3

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.3.1.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 x = - \frac{2}{5} \cdot - 1$

ステップ 2.1.4.3.1.1.3.2

$x$ に $1$ をかけます。

$x = - \frac{2}{5} \cdot - 1$

ステップ 2.1.4.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.3.2.1

$- \frac{2}{5} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.3.2.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x = 1 (\frac{2}{5})$

ステップ 2.1.4.3.2.1.2

$\frac{2}{5}$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2}{5}$

ステップ 2.1.5

$- \frac{1}{x} + \frac{5}{2}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.1

$\frac{1}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 2.1.5.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 2.1.6

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < \frac{2}{5}$

$x > \frac{2}{5}$

ステップ 2.1.7

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.7.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.7.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 2.1.7.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$3 - \frac{1}{- 2} < \frac{1}{2}$

ステップ 2.1.7.1.3

左辺 $3.5$ は右辺 $0.5$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 2.1.7.2

区間 $0 < x < \frac{2}{5}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.7.2.1

区間 $0 < x < \frac{2}{5}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0.2$

ステップ 2.1.7.2.2

$x$ を元の不等式の $0.2$ で置き換えます。

$3 - \frac{1}{0.2} < \frac{1}{2}$

ステップ 2.1.7.2.3

左辺 $- 2$ は右辺 $0.5$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 2.1.7.3

区間 $x > \frac{2}{5}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.7.3.1

区間 $x > \frac{2}{5}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 2.1.7.3.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$3 - \frac{1}{3} < \frac{1}{2}$

ステップ 2.1.7.3.3

左辺 $2.\overline{6}$ は右辺 $0.5$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 2.1.7.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 偽

$0 < x < \frac{2}{5}$ 真

$x > \frac{2}{5}$ 偽

$x < 0$ 偽

$0 < x < \frac{2}{5}$ 真

$x > \frac{2}{5}$ 偽

ステップ 2.1.8

解はすべての真の区間からなります。

$0 < x < \frac{2}{5}$

ステップ 2.2

$0 < x < \frac{2}{5}$ と $x < 0 or x \geq \frac{1}{3}$ の交点を求めます。

$\frac{1}{3} \leq x < \frac{2}{5}$

ステップ 3

$0 < x < \frac{1}{3}$ のとき、 $- 3 + \frac{1}{x} < \frac{1}{2}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ について $- 3 + \frac{1}{x} < \frac{1}{2}$ を解きます。

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ステップ 3.1.1

$x$ を含まないすべての項を不等式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.1.1.1

不等式の両辺に $3$ を足します。

$\frac{1}{x} < \frac{1}{2} + 3$

ステップ 3.1.1.2

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{x} < \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 3.1.1.3

$3$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{x} < \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

ステップ 3.1.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{x} < \frac{1 + 3 \cdot 2}{2}$

ステップ 3.1.1.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.1.1.5.1

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{x} < \frac{1 + 6}{2}$

ステップ 3.1.1.5.2

$1$ と $6$ をたし算します。

$\frac{1}{x} < \frac{7}{2}$

ステップ 3.1.2

両辺に $x$ を掛けます。

$\frac{1}{x} x = \frac{7}{2} x$

ステップ 3.1.3

簡約します。

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ステップ 3.1.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1.3.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x} x = \frac{7}{2} x$

ステップ 3.1.3.1.1.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{7}{2} x$

ステップ 3.1.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1.3.2.1

$\frac{7}{2}$ と $x$ をまとめます。

$1 = \frac{7 x}{2}$

ステップ 3.1.4

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1.4.1

方程式を $\frac{7 x}{2} = 1$ として書き換えます。

$\frac{7 x}{2} = 1$

ステップ 3.1.4.2

方程式の両辺に $\frac{2}{7}$ を掛けます。

$\frac{2}{7} \cdot \frac{7 x}{2} = \frac{2}{7} \cdot 1$

ステップ 3.1.4.3

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.1.4.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1.4.3.1.1

$\frac{2}{7} \cdot \frac{7 x}{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.1.4.3.1.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.4.3.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{7} \cdot \frac{7 x}{2} = \frac{2}{7} \cdot 1$

ステップ 3.1.4.3.1.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{7} (7 x) = \frac{2}{7} \cdot 1$

ステップ 3.1.4.3.1.1.2

$7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.4.3.1.1.2.1

$7$ を $7 x$ で因数分解します。

$\frac{1}{7} (7 (x)) = \frac{2}{7} \cdot 1$

ステップ 3.1.4.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{7} (7 x) = \frac{2}{7} \cdot 1$

ステップ 3.1.4.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{2}{7} \cdot 1$

ステップ 3.1.4.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1.4.3.2.1

$\frac{2}{7}$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2}{7}$

ステップ 3.1.5

$\frac{1}{x} - \frac{7}{2}$ の定義域を求めます。

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ステップ 3.1.5.1

$\frac{1}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 3.1.5.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 3.1.6

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < \frac{2}{7}$

$x > \frac{2}{7}$

ステップ 3.1.7

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 3.1.7.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 3.1.7.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 3.1.7.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$- 3 + \frac{1}{- 2} < \frac{1}{2}$

ステップ 3.1.7.1.3

左辺 $- 3.5$ は右辺 $0.5$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 3.1.7.2

区間 $0 < x < \frac{2}{7}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 3.1.7.2.1

区間 $0 < x < \frac{2}{7}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0.14$

ステップ 3.1.7.2.2

$x$ を元の不等式の $0.14$ で置き換えます。

$- 3 + \frac{1}{0.14} < \frac{1}{2}$

ステップ 3.1.7.2.3

左辺 $4.\overline{142857}$ は右辺 $0.5$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 3.1.7.3

区間 $x > \frac{2}{7}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 3.1.7.3.1

区間 $x > \frac{2}{7}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 3.1.7.3.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$- 3 + \frac{1}{3} < \frac{1}{2}$

ステップ 3.1.7.3.3

左辺 $- 2.\overline{6}$ は右辺 $0.5$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 3.1.7.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 真

$0 < x < \frac{2}{7}$ 偽

$x > \frac{2}{7}$ 真

$x < 0$ 真

$0 < x < \frac{2}{7}$ 偽

$x > \frac{2}{7}$ 真

ステップ 3.1.8

解はすべての真の区間からなります。

$x < 0$ または $x > \frac{2}{7}$

ステップ 3.2

$x < 0 or x > \frac{2}{7}$ と $0 < x < \frac{1}{3}$ の交点を求めます。

$\frac{2}{7} < x < \frac{1}{3}$

ステップ 4

解の和集合を求めます。

$\frac{2}{7} < x < \frac{2}{5}$

ステップ 5

不等式を区間記号に変換します。

$(\frac{2}{7}, \frac{2}{5})$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例