微分積分例

$12 x^{2} - 7 x - 12 < 0$

ステップ 1

不等式を方程式に変換します。

$12 x^{2} - 7 x - 12 = 0$

ステップ 2

群による因数分解。

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ステップ 2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 12 \cdot - 12 = - 144$ で和が $b = - 7$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.1.1

$- 7$ を $- 7 x$ で因数分解します。

$12 x^{2} - 7 x - 12 = 0$

ステップ 2.1.2

$- 7$ を $9$ プラス $- 16$ に書き換える

$12 x^{2} + (9 - 16) x - 12 = 0$

ステップ 2.1.3

分配則を当てはめます。

$12 x^{2} + 9 x - 16 x - 12 = 0$

ステップ 2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(12 x^{2} + 9 x) - 16 x - 12 = 0$

ステップ 2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$3 x (4 x + 3) - 4 (4 x + 3) = 0$

ステップ 2.3

最大公約数 $4 x + 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(4 x + 3) (3 x - 4) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$4 x + 3 = 0$

$3 x - 4 = 0$

ステップ 4

$4 x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$4 x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$4 x + 3 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $4 x + 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$4 x = - 3$

ステップ 4.2.2

$4 x = - 3$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$4 x = - 3$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

ステップ 4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

ステップ 4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 3}{4}$

ステップ 4.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{3}{4}$

ステップ 5

$3 x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$3 x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$3 x - 4 = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $3 x - 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$3 x = 4$

ステップ 5.2.2

$3 x = 4$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$3 x = 4$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

ステップ 5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

ステップ 5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{4}{3}$

ステップ 6

最終解は $(4 x + 3) (3 x - 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{3}{4}, \frac{4}{3}$

ステップ 7

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - \frac{3}{4}$

$- \frac{3}{4} < x < \frac{4}{3}$

$x > \frac{4}{3}$

ステップ 8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 8.1

区間 $x < - \frac{3}{4}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.1.1

区間 $x < - \frac{3}{4}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 3$

ステップ 8.1.2

$x$ を元の不等式の $- 3$ で置き換えます。

$12 {(- 3)}^{2} - 7 \cdot - 3 - 12 < 0$

ステップ 8.1.3

左辺 $117$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 8.2

区間 $- \frac{3}{4} < x < \frac{4}{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.2.1

区間 $- \frac{3}{4} < x < \frac{4}{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 8.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$12 {(0)}^{2} - 7 \cdot 0 - 12 < 0$

ステップ 8.2.3

左辺 $- 12$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 8.3

区間 $x > \frac{4}{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.3.1

区間 $x > \frac{4}{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 8.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$12 {(4)}^{2} - 7 \cdot 4 - 12 < 0$

ステップ 8.3.3

左辺 $152$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 8.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - \frac{3}{4}$ 偽

$- \frac{3}{4} < x < \frac{4}{3}$ 真

$x > \frac{4}{3}$ 偽

$x < - \frac{3}{4}$ 偽

$- \frac{3}{4} < x < \frac{4}{3}$ 真

$x > \frac{4}{3}$ 偽

ステップ 9

解はすべての真の区間からなります。

$- \frac{3}{4} < x < \frac{4}{3}$

ステップ 10

不等式を区間記号に変換します。

$(- \frac{3}{4}, \frac{4}{3})$

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例